37η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020 - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Πρόβλημα 1ο

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο με , το μέσο της πλευράς και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου . Η εφαπτομένη του στο σημείο τέμνει την ευθεία στο σημείο . Αν είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , να αποδείξετε ότι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ανήκει στον .

(Ηνωμένο Βασίλειο)

Πρόβλημα 2ο

Συμβολίζουμε με το σύνολο των θετικών ακεραίων. Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις , τέτοιες ώστε για κάθε θετικό ακέραιο να ισχύουν τα πιο κάτω:

i) Το είναι τέλειο τετράγωνο.

ii) Το διαιρεί το .

(Αλβανία)

Πρόβλημα 3ο

Έστω θετικός ακέραιος . Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο , για τον οποίο το πιο κάτω παιγνίδι μπορεί να συνεχιστεί επ' άπειρον:

Θεωρούμε κουτιά, τα . Για κάθε δείκτη , το κουτί περιέχει αρχικά ακριβώς

νομίσματα. Σε κάθε βήμα του παιγνιδιού, εκτελούμε με τη σειρά τα πιο κάτω:

(1) Επιλέγουμε κουτιά.

(2) Από αυτά τα κουτιά, επιλέγουμε και αφαιρούμε τουλάχιστον τα μισά νομίσματα από το καθένα. Δεδομένου ότι περίσσεψε το κουτί , προσθέτουμε σε αυτό νομίσματα.

(3) Αν κάποιο από τα κουτιά αδειάσει, το παιγνίδι τερματίζεται. Αλλιώς προχωρούμε στο επόμενο βήμα.

(Κύπρος)

Πρόβλημα 4ο

Θέτουμε . Για κάθε θετικό ακέραιο , ορίζουμε ως τον μικρότερο ακέραιο ο οποίος είναι μεγαλύτερος του και έχει περισσότερους θετικούς διαιρέτες από τον . Να αποδείξετε ότι το σύνολο

είναι πεπερασμένο.

(Σκόπια)

Πηγή: mathematica