Πρόβλημα 1ο
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο
με
, το μέσο
της πλευράς
και ο περιγεγραμμένος κύκλος
του τριγώνου
. Η εφαπτομένη του
στο σημείο
τέμνει την ευθεία
στο σημείο
. Αν
είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου
, να αποδείξετε ότι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος
ανήκει στον
.














(Ηνωμένο Βασίλειο)
Πρόβλημα 2ο
Συμβολίζουμε με
το σύνολο των θετικών ακεραίων. Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις
, τέτοιες ώστε για κάθε θετικό ακέραιο
να ισχύουν τα πιο κάτω:



i) Το
είναι τέλειο τετράγωνο.

(Αλβανία)
Πρόβλημα 3ο
Έστω θετικός ακέραιος
. Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο
, για τον οποίο το πιο κάτω παιγνίδι μπορεί να συνεχιστεί επ' άπειρον:


Θεωρούμε
κουτιά, τα
. Για κάθε δείκτη
, το κουτί
περιέχει αρχικά ακριβώς





(1) Επιλέγουμε
κουτιά.

(2) Από αυτά τα
κουτιά, επιλέγουμε
και αφαιρούμε τουλάχιστον τα μισά νομίσματα από το καθένα. Δεδομένου ότι περίσσεψε το κουτί
, προσθέτουμε σε αυτό
νομίσματα.




(3) Αν κάποιο από τα κουτιά αδειάσει, το παιγνίδι τερματίζεται. Αλλιώς προχωρούμε στο επόμενο βήμα.
(Κύπρος)
Πρόβλημα 4ο
Θέτουμε
. Για κάθε θετικό ακέραιο
, ορίζουμε ως
τον μικρότερο ακέραιο ο οποίος είναι μεγαλύτερος του
και έχει περισσότερους θετικούς διαιρέτες από τον
. Να αποδείξετε ότι το σύνολο






είναι πεπερασμένο.
(Σκόπια)
Πηγή: mathematica