Ίδιο ΘΕΜΑ Β το 2017 και το 2020 !

ΘΕΜΑ Β (2017)

Δίνονται οι συναρτήσεις $ f(x) = lnx$ , $x > 0$  και

 $ g(x)= \dfrac{x}{1-x}$, $x \neq 1$.

B1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $ f \circ g$.

B2. Αν

$h(x)= (f \circ g)(x) = ln \big( \dfrac{x}{1-x} \big) $, $x \in (0,1)$

να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $h$ αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

B3. Αν 

$φ(x) =h^{-1}(x) = \dfrac{e^x}{e^{x}+1}$, $x\in R$

να μελετήσετε τη συνάρτηση $φ$ ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.

B4. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $φ$ και να τη σχεδιάσετε.

ΘΕΜΑ Β (2020)

Δίνονται οι συναρτήσεις:

$f: (1, + \propto)$, με τύπο $f(x) = \dfrac{x+2}{x-1}$ και
$g: R \rightarrow R$, με τύπο $g(x) = e^x$

B1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $ f \circ g$.

B2. Αν

$(f \circ g)(x) =\dfrac{e^{x}+2}{e^{x}-1}$

, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $ f \circ g$ είναι ‘1-1’ και να βρείτε την αντίστροφή της.

B3. Αν

$φ(x) = (f \circ g)^{-1}(x)= ln \big(\dfrac{x+2}{x-1}\big)$ , $x > 1$

,να μελετήσετε τη συνάρτηση $φ$ ως προς τη μονοτονία.

B4. Αν $φ$ είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Β3, να βρεθούν τα όρια

$ \lim_{x \rightarrow 1^+}φ(x)$ και $ \lim_{x \rightarrow + \infty }φ(x)$