Ίδιο ΘΕΜΑ Β το 2017 και το 2020 !

ΘΕΜΑ Β (2017)

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=lnx$ , $x>0$  και

 $g(x)={\displaystyle \frac{x}{1-x}}$, $x\ne 1$.

B1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $f\circ g$.

B2. Αν

$h(x)=(f\circ g)(x)=ln({\displaystyle \frac{x}{1-x}})$, $x\in (0,1)$

να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $h$ αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

B3. Αν 

$\phi (x)=h^{-1}(x)={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}$, $x\in R$

να μελετήσετε τη συνάρτηση $\phi$ ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.

B4. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $\phi$ και να τη σχεδιάσετε.

ΘΕΜΑ Β (2020)

Δίνονται οι συναρτήσεις:

$f:(1,+\propto )$, με τύπο $f(x)={\displaystyle \frac{x+2}{x-1}}$ και
$g:R\to R$, με τύπο $g(x)=e^x$

B1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $f\circ g$.

B2. Αν

$(f\circ g)(x)={\displaystyle \frac{e^x+2}{e^x-1}}$

, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f\circ g$ είναι ‘1-1’ και να βρείτε την αντίστροφή της.

B3. Αν

$\phi (x)=(f\circ g{)}^{-1}(x)=ln({\displaystyle \frac{x+2}{x-1}})$ , $x>1$

,να μελετήσετε τη συνάρτηση $\phi$ ως προς τη μονοτονία.

B4. Αν $\phi$ είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Β3, να βρεθούν τα όρια

$\underset{x\to 1^{+}}{lim}\phi (x)$ και $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\phi (x)$