Άλγεβρα Α΄ Λυκείου: Τρία ωραία επαναληπτικά θέματα

1. Έστω η εξίσωση 

$x^2+x-k^2=0$ 

i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες για κάθε $k\in ℝ$. 

ii) Αν $x_1$ και $x_2$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης να προσδιορίσετε τις τιµές του $k$ για τις οποίες ισχύει 

$x_1(k+x_2)+k{x}_2>-6$. 

iii) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθµού της οποίας ρίζες να είναι οι αριθµοί 

${\rho }_1=x_1+1$ και ${\rho }_2=x_2+1$.

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

2. Έστω οι συναρτήσεις 

$f(x)=x^2–kx+4$ και $g(x)=2x-6$. 

i) Αν $f(2)=-2$, να βρείτε την τιµή του $k$. 

ii) Για $k=5$ 

α) Να προσδιορίσετε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των $f$ και $g$.

β) Να βρείτε για ποιες τιµές του $x$ η $C_f$ είναι ψηλότερα από την $C_g$. 

γ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 

$f(2-\sqrt{2})–g({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

3. Έστω η εξίσωση 

$x^2-(\lambda +1)x–{\lambda }^2–5=0$.

i) Να αποδείξετε ότι έχει ρίζες άνισες για κάθε $\lambda \in ℝ$. 

ii) Να βρείτε το $\lambda$ ώστε οι ρίζες να είναι αντίθετες. 

iii) Να βρείτε το $\lambda$ ώστε µεταξύ των ριζών $x_1,x_2$ να ισχύει η σχέση 

$x_1^2{x}_2+x_2^2{x}_1+x_1+x_2=–{\lambda }^3–9$.