Άλγεβρα Α΄ Λυκείου: Τρία ωραία επαναληπτικά θέματα

1. Έστω η εξίσωση 

$x^2 + x −k^2 = 0$ 

i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες για κάθε $k∈ℝ$. 

ii) Αν $x_1$ και $x_2$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης να προσδιορίσετε τις τιµές του $k$ για τις οποίες ισχύει 

$x_1( k + x_2) + kx_2 > −6$. 

iii) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθµού της οποίας ρίζες να είναι οι αριθµοί 

$ρ_1= x_1 + 1$ και $ρ_2 = x_2 + 1$.

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

2. Έστω οι συναρτήσεις 

$f(x) = x^2 – kx + 4$ και $g(x) = 2x −6$. 

i) Αν $f(2 ) = −2$, να βρείτε την τιµή του $k$. 

ii) Για $k = 5$ 

α) Να προσδιορίσετε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των $f$ και $g$.

β) Να βρείτε για ποιες τιµές του $x$ η $C_f$ είναι ψηλότερα από την $C_g$. 

γ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 

$f(2 − \sqrt{2}) – g( \dfrac{1}{ \sqrt{2}})$

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

3. Έστω η εξίσωση 

$x^2 − (λ + 1)x – λ^2 – 5 = 0$.

i) Να αποδείξετε ότι έχει ρίζες άνισες για κάθε $λ∈ℝ$. 

ii) Να βρείτε το $λ$ ώστε οι ρίζες να είναι αντίθετες. 

iii) Να βρείτε το $λ$ ώστε µεταξύ των ριζών $x_1 , x_2$ να ισχύει η σχέση 

$x^{2}_1 x_2 + x^{2}_2 x_1 + x_1 + x_2 = –λ^3 –9$.