ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ: Παράγωγος πηλίκου δύο συναρτήσεων

Αν οι συναρτήσεις  $f,g$  είναι παραγωγίσιμες και  $g(x)\ne 0$, τότε και η συνάρτηση ${\displaystyle \frac{f}{g}}$  είναι παραγωγίσιμη και ισχύει :  $({\displaystyle \frac{f}{g}}{)}^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x).g(x)-f(x).g^{\prime }(x)}{g^2(x)}}$

Απόδειξη
Έχουμε διαδοχικά

$\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]\text{'}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{f(x+h)g\left(x\right)-f\left(x\right)g(x+h)}{g(x+h)g\left(x\right)}}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{f(x+h)g\left(x\right)-f\left(x\right)g(x+h)}{h}}{g(x+h)g\left(x\right)}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{f(x+h)g\left(x\right)-f\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g(x+h)+f\left(x\right)g\left(x\right)}{h}}{g(x+h)g\left(x\right)}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}g\left(x\right)-f\left(x\right)\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}}{g(x+h)g\left(x\right)}$

$=\frac{f\text{'}\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g\text{'}\left(x\right)}{{\left[g\left(x\right)\right]}^2}$