Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (11η τάξη)

1. Ο καθένας εκ δέκα ατόμων είναι είτε ευγενής και λέει πάντα την αλήθεια, είτε ψεύτης και λέει πάντα ψέματα. Ο καθένας τους σκέφτηκε κάποιο ακέραιο αριθμό.
Ύστερα ο πρώτος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του », ο δεύτερος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του », …, ο δέκατος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του ». Μετά από αυτό και οι δέκα τους, αναφώνησαν με κάποια σειρά: «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του », «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του », …, «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του » (ο καθένας τους είπε μία από αυτές τις φράσεις).
Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ευγενών που μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των ατόμων;

2. Είναι γνωστό, ότι καθένα από τα τριώνυμα και έχει τουλάχιστον μία ρίζα και όλες οι ρίζες αυτών των τριωνύμων είναι ακέραιοι. Να δείξετε, ότι το τριώνυμο δεν έχει ρίζες.

3. Θα ονομάσουμε απόσταση μεταξύ δυο κελιών ενός τετραγωνισμένου πίνακα τον ελάχιστο αριθμό κινήσεων, με τις οποίες ένας σκακιστικός βασιλιάς μπορεί να μεταβεί από ένα εξ αυτών στο άλλο. Να βρείτε το μέγιστο αριθμό κελιών, που μπορούμε να σημειώσουμε σε πίνακα έτσι, ώστε μεταξύ αυτών να μην μπορούν να βρεθούν κελιά, η απόσταση μεταξύ των οποίων να είναι ίση με .

4. Η άπειρη ακολουθία μη μηδενικών αριθμών είναι τέτοια, ώστε για όλους τους φυσικούς αριθμούς ο αριθμός να είναι η μικρότερη ρίζα του πολυωνύμου . Να αποδείξετε, ότι υπάρχει τέτοιο , ώστε στην άπειρη ακολουθία κάθε όρος να είναι μικρότερος από τον προηγούμενο.

5. Σε τετράεδρο φέρουμε τα ύψη και . Το επίπεδο είναι κάθετο στην ακμή και διέρχεται από το μέσο της. Είναι γνωστό, ότι τα σημεία και είναι ομοκυκλικά, επίσης και τα σημεία και είναι ομοκυκλικά. Να αποδείξετε, ότι οι αποστάσεις των σημείων και από το επίπεδο είναι ίσες..

Πηγή