Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Δύο παρόμοια θέματα στις Πανελλαδικές εξετάσεις του 2010 και του 2012

ΘΕΜΑ Γ

∆ίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=(x–2)lnx+x–3$, $x>0$.

Γ1. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$.

Γ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $(0,1]$ και γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[1,+\infty )$.

Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ έχει δύο ακριβώς θετικές ρίζες.

Γ4. Αν $x_1,x_2$ είναι οι ρίζες του ερωτήματος Γ3 με $x_1<x_2$, να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός $\xi \in (x_1,x_2)$ τέτοιος, ώστε 

$\xi \cdot f\prime (\xi )–f(\xi )=0$

και ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ στο σημείο ${\rm M}(\xi ,f(\xi )$ διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ́ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΘΕΜΑ Γ

∆ίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=(x-1)lnx-1$, $x>0$.

Γ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ∆1=$(0,1]$ και γνησίως αύξουσα στο διάστημα ∆2=$[1,+\infty )$. Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της $f$.

Γ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $x^{x-1}=e^{2013}$, $x>0$ έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες.

Γ3. Αν $x_1,x_2$ με $x_1<x_2$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος Γ2, να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_0\in (x_1,x_2)$ τέτοιο, ώστε

$f\prime (x_0)+f(x_0)=2012$

Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $g(x)=f(x)+1$ με $x>0$, τον άξονα $x\prime x$ και την ευθεία $x=e$.

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ́ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012