Η απόσταση μεταξύ των σπιτιών μιας καθηγήτριας και του βοηθού της είναι μικρή, και τα απογεύματα τους αρέσει να περπατούv από το ένα σπίτι στο άλλο, διασχίζοντας πολλές φορές την ίδια διαδρομή.
Μια μέρα ξεκίνησαν και οι δύο την ίδια στιγμή από τα σπίτια τους. Για πρώτη φορά συναντήθηκαν σε απόσταση 55 m από το σπίτι της καθηγήτριας, για δεύτερη σε απόσταση 85 m από το σπίτι του βοηθού.
Σε απόσταση 25 m από το σπίτι του βοηθού βρίσκεται ένα περίπτερο, ενώ κοντά στο σπίτι της καθηγήτριας βρίσκεται ένα άλλο μαγαζί που πουλά παγωτά. Γνωρίζουμε ότι αφού έφυγαν από τα σπίτια τους, η καθηγήτρια και ο βοηθός της πέρασαν από το πλησιέστερό τους μαγαζί την ίδια ακριβώς στιγμή.
Πόσο απέχουν μεταξύ τους τα δύο μαγαζιά;
Περιοδικό Quantum
Αφού η μεγαλύτερη γνωστή απόσταση ενός σημείου συνάντησης από κάποιο σπίτι είναι 85μ, θα πρέπει η απόσταση των δύο σπιτιών να είναι τουλάχιστον 85μ. Έστω λοιπόν χ≥85μ η απόσταση των δύο σπιτιών και 2χ το μήκος του περιπάτου κάθε περιπατητή (από το σπίτι του μέχρι το σπίτι του άλλου και πίσω στο σπίτι του), αφού στη διάρκεια αυτή θα έχουν γίνει οπωσδήποτε οι δύο πρώτες συναντήσεις.
ΑπάντησηΔιαγραφήΜέχρι την πρώτη συνάντησή τους, η Κ έχει περπατήσει 55μ, ο Β έχει περπατήσει χ-55μ και ο λόγος των μέτρων που έχουν περπατήσει (μέτρα Κ προς μέτρα Β) είναι λ=55/(χ-55). Ο λόγος αυτός παραμένει σταθερός σε όλη τη διάρκεια των περιπάτων, αφού είναι ίσος με τον αντίστοιχο λόγο των δύο ταχυτήτων. Ας δούμε ποιος μπορεί να είναι αυτός ο λόγος τη στιγμή της δεύτερης συνάντησης, διακρίνοντας τις ακόλουθες περιπτώσεις:
α) Η δεύτερη συνάντηση γίνεται κατά το δεύτερο μισό της διαδρομής και των δύο.
Η Κ έχει περπατήσει χ+85μ, ο Β έχει περπατήσει 2χ-85μ και λ=(χ+85)/(2χ-85), οπότε πρέπει να ισχύει 55/(χ-55)=(χ+85)/(2χ-85). Εφαρμόζοντας την ισοδυναμία α/β=γ/δ => α/(α+β)=γ/(γ+δ), έχουμε 55/χ = (χ+85)/3χ => χ+85=165 => χ=80, άτοπο.
β) Η δεύτερη συνάντηση γίνεται κατά το πρώτο μισό της διαδρομής του Β και το δεύτερο μισό της διαδρομής της Κ.
Η Κ έχει περπατήσει χ+85μ και ο Β έχει περπατήσει 85μ. Αφού όμως χ≥85μ, θα πρέπει η Κ να κινείται με ταχύτητα τουλάχιστον διπλάσια του Β. Έτσι όμως τα μέτρα που θα είχε περπατήσει ο Β μέχρι την πρώτη τους συνάντηση θα ήταν το πολύ τα μισά των 55μ που είχε περπατήσει αντίστοιχα η Κ, οπότε η απόσταση των δύο σπιτιών θα έπρεπε να είναι το πολύ 27,5+55=82,5μ, άτοπο.
γ) Η δεύτερη συνάντηση γίνεται κατά το πρώτο μισό της διαδρομής της Κ και το δεύτερο μισό της διαδρομής του Β.
Η Κ έχει περπατήσει χ-85μ, ο Β έχει περπατήσει 2χ-85μ και λ=(χ-85)/(2χ-85), οπότε πρέπει να ισχύει:
λ = 55/(χ-55) = (χ-85)/(2χ-85) => λ = 2*55/[2(χ-55)] = (χ-85)/(2χ-85) =>
λ = [(χ-85)-2*55]/[(2χ-85)-2(χ-55)] => λ = (χ-195)/25.
Η τελευταία έκφραση του λόγου λ μας λέει ότι όταν ο Β είχε περπατήσει ακριβώς 25μ, οπότε και περνούσε από το περίπτερο, την ίδια στιγμή η Κ βρισκόταν στα 195μ από το σπίτι του Β. Τη στιγμή εκείνη όμως η Κ περνούσε από το παγωτατζήδικο. Επομένως τα δύο μαγαζιά απέχουν μεταξύ τους 195-25 = 170μ.