36η Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Θέματα Μικρών

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλες τις τριάδες πραγματικών αριθμών $(x,y,z)$ που είναι λύσεις του συστήματος:

$\displaystyle x^2+y^2+25z^2=6xz+8yz$

$\displaystyle 3x^2+2y^2+z^2=240$

Πρόβλημα 2 

Δίνεται τετράπλευρο $AB\Gamma\Delta$ εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $O$. Η κάθετη στο μέσον Ε της πλευράς $B\Gamma$ τέμνει την ευθεία $AB$ στο σημείο $Z$. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $\Gamma EZ$ τέμνει την πλευρά $AB$ για δεύτερη φορά στο σημείο H και την ευθεία $\Gamma\Delta$ σε σημείο $\Theta$ διαφορετικό του $\Delta$. Η ευθεία $E\Theta$ τέμνει την ευθεία $A\Delta$ στο σημείο K και την ευθεία $\Gamma H$ στο σημείο $\Lambda$. Να αποδείξετε ότι τα σημεία $A,H,\Lambda,K$ είναι ομοκυκλικά, δηλαδή ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

Πρόβλημα 3

Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακεραίους οι οποίοι είναι ίσοι με 13 φορές το άθροισμα των ψηφίων τους. 

Πρόβλημα 4

Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι θετικοί ακέραιοι $1,2,3,\ldots,2018$. Ο Γιάννης και η Μαρία έχουν το δικαίωμα να κάνουν μαζί την επόμενη κίνηση: 

Επιλέγουν δύο αριθμούς $\alpha,\beta$ από αυτούς που είναι γραμμένοι στον πίνακα και τους αντικαθιστούν με τους αριθμούς $5\alpha-2\beta$ και $3\alpha - 4\beta$. 

Ο Γιάννης ισχυρίζεται ότι μετά από πεπερασμένο πλήθος τέτοιων κινήσεων μπορούν να τριπλασιαστούν όλοι οι αριθμοί του πίνακα, δηλαδή να προκύψουν οι αριθμοί: $3,6,9,\ldots,6054$. Η Μαρία σκέπτεται λίγο και του απαντά ότι αυτό δεν είναι δυνατό να γίνει. Ποιος από τους δύο έχει δίκιο και γιατί; 

Θέματα Μεγάλων

Πρόβλημα 1 

Η ακολουθία $\alpha_{\nu}$ έχει πρώτο όρο $\alpha_1=1$ και ορίζεται αναδρομικά από τον τύπο:

$\displaystyle \alpha_{\nu} = 5\alpha_{\nu-1} + 3^{n-1},\, \nu \geq 2$.

Να υπολογίσετε το γενικό όρο $\alpha_{\nu}$ και να βρείτε τη μεγαλύτερη δύναμη του $2$ που διαιρεί τον όρο $\alpha_k$ όπου $k=2^{2019}$.

Πρόβλημα 2

Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma εγγεγραμμένο σε κύκλο $c(O,R)$ με $AB < A\Gamma < B\Gamma$ και έστω $\Delta$ το μέσο του μικρού τόξου $AB$. Η ευθεία $A\Delta$ τέμνει την ευθεία $B\Gamma$ στο σημείο $E$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $B\Delta E$ (έστω $c_1$) τέμνει την $AB$ για δεύτερη φορά στο σημείο Z. Αν ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $A\Delta Z$ (έστω $c_2$) τέμνει για δεύτερη φορά την $A\Gamma$ στο σημείο $H$, να αποδείξετε ότι $BE=AH$. 

Πρόβλημα 3 

Να βρείτε όλα τα ζεύγη $(x,y)$ θετικών ρητών αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση

$\displaystyle yx^y = y+1$.

Πρόβλημα 4

Θεωρούμε ορθογώνιο $\nu \times \mu$ με $\nu \leq \mu$, το οποίο υποδιαιρούμε με παράλληλες ευθείες προς τις πλευρές του σε \nu \mu μοναδιαία τετράγωνα. Αρχικά τοποθετούμε από ένα μαύρο πιόνι σε N μοναδιαία τετράγωνα και στη συνέχεια προσπαθούμε να γεμίσουμε τον πίνακα με μαύρα πιόνια εκτελώντας την παρακάτω επιτρεπόμενη κίνηση:

Αν ένα κενό μοναδιαίο τετράγωνο έχει κοινή πλευρά με δύο τουλάχιστον μοναδιαία τετράγωνα κατειλημμένα με μαύρο πιόνι, τότε τοποθετούμε και σε αυτό το μοναδιαίο τετράγωνο ένα μαύρο πιόνι.

Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή του αριθμού N των μαύρων πιονιών που πρέπει και αρκεί να υπάρχουν σε μια αρχική τοποθέτηση, έτσι ώστε μετά από πεπερασμένο πλήθος διαδοχικών εφαρμογών της επιτρεπόμενης κίνησης να γεμίσει το ορθογώνιο με μαύρα πιόνια.
Για τις λύσεις δείτε εδώ.