Όλα τα τρίγωνα στο παρακάτω σχήμα είναι όμοια και το τρίγωνο $ABC$ είναι ισοσκελές, με $AB=AC$.
![[asy] μÎγεθος μονάδας (5); σημείο ((0,0)); σημείο ((60,0)). dot ((50,10)). dot ((10,10)). σημείο ((30, 30)). κλήÏωση ((0,0) - (60,0) - (50,10) - (30,30) - (10,10) - (0,0)); κλήÏωση ((10,10) - (50,10)), ετικÎτα ("$ B $", (0,0), SW); ετικÎτα ("$ C $", (60,0), SE). ετικÎτα ("$ E $", (50,10), E). ετικÎτα ("$ D $", (10,10), W). ετικÎτα ("$ A $", (30,30), Î). (10,10) - (15,15) - (20,10) - (25,15) - (30,10) - (35,15) - (40,10) - - (45,15) - (50,10)). κλήÏωση ((15,15) - (45,15)). [/ asy]](https://latex.artofproblemsolving.com/d/1/3/d13adfd6d388ea5d30660f97f3b425db198e8093.png)
Αν τα μικρά τρίγωνα έχουν εμβαδόν $1$ και το εμβαδόν του $ABC$ είναι $40$, να βρεθεί το εμβαδόν του τραπεζίου $DBCE$.
AMC 10 2018
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
5 σχόλια:
Έστω x το εμβαδόν του τριγώνου ADE. Το εμβαδόν x αποτελείται από τα 7 μικρά ισοσκελή τρίγωνα aDb, abc, bcd, cde, def, efg, και fgE.και κάθε μικρό τρίγωνο είναι όμοιο με το τρίγωνο ADE με αναλογία μήκους πλευράς 3 προς 4 και αναλογία εμβαδού 3^2/4^2=9/16, οπότε έχουμε εμβαδόν ADE:
ΑπάντησηΔιαγραφήx=7+(9/16)x ----> 16x=7*16+9x ----> 16x-9x=112 ----> 7x=112 ----> x=112/7 ----> x=16cm^2
Το εμβαδόν του τραπεζίου DBCE είναι:
DBCE = 40-ADE ----> DBCE = 40-24 ----> DBCE =24cm^2
Βλέπε σχήμα εδώ:
Διαγραφήhttps://imgur.com/a/cshjoLh(Carlo de Grandi)
https://i.imgur.com/YNqigIR.jpg (Α. Δρούγας)
λίγο πιό αναλυτικά γίνεται;
ΑπάντησηΔιαγραφήΕυχαριστώ πολύ !
ΔιαγραφήΤο τριγωνο ADE ειναι ομοιο με το καθενα απο τα μικρα ισοσκελη τριγωνα εμβαδου 1 με λογο ομοιοτητας 4:1=4.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ λογος των εμβαδων δυο ομοιων τριγωνων ειναι ισος με το τετραγωνο του λογου ομοιοτητας αυτων, αρα Ε(ADE)/E(μικρου τριγωνου)=(4^2) => Ε(ADE)/1=16 => E(ADE)=16.
Συνεπως: E(DBCE)=E(ABC)-E(ADE)=40-16=24.