Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: Διαγωνισμός επιλογής (μεγάλοι) 2018

Πρόβλημα 1

Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε , να αποδείξετε ότι:

Να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα.

Πρόβλημα 2

Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο , με , εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου . Ονομάζουμε το βαρύκεντρο του τριγώνουκαι τα ίχνη των υψών του από τις κορυφές , αντίστοιχα. Αν οι ημιευθείες τέμνουν τον στα αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

Πρόβλημα 3

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις , όπου είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων, που είναι τέτοιες ώστε ο αριθμός 

να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, για όλους τους θετικούς ακεραίους .

Πρόβλημα 4

Θεωρούμε έναν πρώτο αριθμό . O Άγγελος και ο Βαγγέλης παίζουν εναλλάξ το ακόλουθο παιχνίδι: Στον πίνακα υπάρχουνάδεια κουτάκια στη σειρά, το ένα δίπλα στο άλλο, και σε κάθε κίνηση, ο παίκτης που έχει σειρά, βάζει σε ένα από τα κενά κουτάκια ένα μονοψήφιο μη αρνητικό ακέραιο. 

Ο Άγγελος παίζει πρώτος και το παιχνίδι τελειώνει όταν γεμίσουν όλα τα κουτάκια και έτσι προκύπτει ένας ψήφιος αριθμός (ο οποίος επιτρέπουμε να έχει και μηδενικά στην αρχή).

Σκοπός του Άγγελου είναι ο αριθμός να διαιρείται με το, ενώ σκοπός του Βαγγέλη είναι να το αποτρέψει. Να αποδείξετε ότι ο Άγγελος έχει στρατηγική νίκης.

Πηγή