Το σημείο P, όπως προκύπτει από το σχήμα, είναι ένα σημείο του κύκλου (C,CA) και βρίσκεται στο εσωτερικό του ορθογώνιου ισοσκελούς τριγώνου CAB. Για γ.ACP=γ.CBP=x=30°: γ.CAP=(180°-x)/2=75° => γ.PAB=15° και γ.PBA=45°-x=15°, επομένως το τρίγωνο PAB είναι ισοσκελές με βάση ΑΒ, οπότε το σημείο Ρ ανήκει και στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ. Αν το σημείο P μετακινηθεί από αυτή τη θέση, πάνω στο τόξο του κύκλου (C,CA) και στο εσωτερικό του τριγώνου CAB, τότε οι γωνίες CAP και CBP θα μεταβληθούν αντίθετα, δηλαδή η μία θα γίνει μεγαλύτερη και η άλλη μικρότερη από 30°. Επομένως μοναδική δυνατή τιμή x είναι η x=30°.
Η πιο πάνω απόδειξη είναι ίσως αρκετά ταχυδακτυλουργική, καθώς θεωρείται δεδομένο ότι αν γ.ACP=30°, τότε και γ.CBP=30°. Αυτό πάντως αποδεικνύεται αν ορίσουμε ως Π σημείο του κύκλου (C,CA) τέτοιο ώστε γ.ACΠ)=30°, και υπολογίσουμε το μήκος του ΠΑ και την απόσταση του Π από το τμήμα AΒ (με χρήση τριγωνομετρικών συναρτήσεων γωνιών 15° και 30°). Έτσι, εύκολα διαπιστώνουμε, μέσω Π.Θ., ότι η κάθετη από το Π προς το τμήμα ΑΒ το τέμνει στο μέσο του, συνεπώς τα σημεία Π και Ρ ταυτίζονται και γ.ΡΑΒ=γ.ΡΒΑ=15° => γ.CPB=30°
Γεωμετρικη λυση. Αρκει να δειξουμε οτι: PA=PB οποτε θα ειναι: PAB=PBA -> x/2=45-x -> x=90-2x -> 3x=90 -> x=30 Εστω PM καθετος στην AB και E το σημειο τομης της προεκτασης της PB με την AC. H CE=PE*sqrt(2)=BE/sqrt(2) -> BE=2*PE Απο την ομοιοτητα των τριγωνων BEA και BMP προκυπτει οτι: BA=2*AM Αρα η PM ειναι μεσοκαθετος της AB και συνεπως: PA=PB, ο.ε.δ.
Δεν ξερω γιατι το προηγουμενο σχολιο μου το μσοεφαγε η μαρμαγκα. Επανορθωνω.
Γεωμετρικη λυση. Αρκει να δειξουμε οτι: PA=PB οποτε θα ειναι: PAB=PBA -> x/2=45-x -> x=90-2x -> 3x=90 -> x=30 Εστω PM καθετος στην AB και E το σημειο τομης της προεκτασης της PB με την AC. H γωνια EPB ως εξωτερικη του τριγωνου CPB ειναι: EPC=PBC+PCB=x+45-x=45 Tα τριγωνα CEB, CPE ειναι ομοια οποτε: PE/CE=CE/BE=CP/BC=CA/CB=1/sqrt(2) CE=PE*sqrt(2)=BE/sqrt(2) 2*PE=BE Απο την ομοιοτητα των τριγωνων BEA και BMP προκυπτει οτι: BA=2*AM Αρα η PM ειναι μεσοκαθετος της AB και συνεπως: PA=PB, ο.ε.δ.
Το σημείο P, όπως προκύπτει από το σχήμα, είναι ένα σημείο του κύκλου (C,CA) και βρίσκεται στο εσωτερικό του ορθογώνιου ισοσκελούς τριγώνου CAB.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια γ.ACP=γ.CBP=x=30°:
γ.CAP=(180°-x)/2=75° => γ.PAB=15° και
γ.PBA=45°-x=15°, επομένως το τρίγωνο PAB είναι ισοσκελές με βάση ΑΒ, οπότε το σημείο Ρ ανήκει και στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ.
Αν το σημείο P μετακινηθεί από αυτή τη θέση, πάνω στο τόξο του κύκλου (C,CA) και στο εσωτερικό του τριγώνου CAB, τότε οι γωνίες CAP και CBP θα μεταβληθούν αντίθετα, δηλαδή η μία θα γίνει μεγαλύτερη και η άλλη μικρότερη από 30°. Επομένως μοναδική δυνατή τιμή x είναι η x=30°.
Η πιο πάνω απόδειξη είναι ίσως αρκετά ταχυδακτυλουργική, καθώς θεωρείται δεδομένο ότι αν γ.ACP=30°, τότε και γ.CBP=30°. Αυτό πάντως αποδεικνύεται αν ορίσουμε ως Π σημείο του κύκλου (C,CA) τέτοιο ώστε γ.ACΠ)=30°, και υπολογίσουμε το μήκος του ΠΑ και την απόσταση του Π από το τμήμα AΒ (με χρήση τριγωνομετρικών συναρτήσεων γωνιών 15° και 30°). Έτσι, εύκολα διαπιστώνουμε, μέσω Π.Θ., ότι η κάθετη από το Π προς το τμήμα ΑΒ το τέμνει στο μέσο του, συνεπώς τα σημεία Π και Ρ ταυτίζονται και γ.ΡΑΒ=γ.ΡΒΑ=15° => γ.CPB=30°
ΑπάντησηΔιαγραφήCA=CP=AB
ΑπάντησηΔιαγραφή<CAP=<CPA=90-x/2
<PAB=x/2
<PBA=45-x
<PAB+<PBA=x2+45-x2=45-x/2
<APB=180-(45-x/2)
Νομος ημιτονων στα τριγωνα CAP και PAB:
PA/CA=PA/AB=sin(<ACP)/sin(<CPA)=sin(<PBA)/sin(<APB)
sinx/sin(90-x/2)=sin(45-x)/sin(180-(45-x/2))
2sin(x/2)cos(x/2)/cos(x/2)=sin(45-x)/sin(45-x/2)
2sin(x/2)=sin(45-x)/sin(45-x/2)
2sin(x/2)sin(45-x/2)=sin(45-x)
cos(x-45)-cos45=sin(45-x)=cos(45+x)
cos(x-45)-cos(45+x)=cos45
2sinxcos45=cos45
2sinx=1
sinx=1/2
x=30
Γεωμετρικη λυση.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑρκει να δειξουμε οτι: PA=PB οποτε θα ειναι:
PAB=PBA -> x/2=45-x -> x=90-2x -> 3x=90 -> x=30
Εστω PM καθετος στην AB και E το σημειο τομης της προεκτασης της PB με την AC.
H
CE=PE*sqrt(2)=BE/sqrt(2) -> BE=2*PE
Απο την ομοιοτητα των τριγωνων BEA και BMP προκυπτει οτι: BA=2*AM
Αρα η PM ειναι μεσοκαθετος της AB και συνεπως:
PA=PB, ο.ε.δ.
Δεν ξερω γιατι το προηγουμενο σχολιο μου το μσοεφαγε η μαρμαγκα. Επανορθωνω.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓεωμετρικη λυση.
Αρκει να δειξουμε οτι: PA=PB οποτε θα ειναι:
PAB=PBA -> x/2=45-x -> x=90-2x -> 3x=90 -> x=30
Εστω PM καθετος στην AB και E το σημειο τομης της προεκτασης της PB με την AC.
H γωνια EPB ως εξωτερικη του τριγωνου CPB ειναι:
EPC=PBC+PCB=x+45-x=45
Tα τριγωνα CEB, CPE ειναι ομοια οποτε:
PE/CE=CE/BE=CP/BC=CA/CB=1/sqrt(2)
CE=PE*sqrt(2)=BE/sqrt(2)
2*PE=BE
Απο την ομοιοτητα των τριγωνων BEA και BMP προκυπτει οτι: BA=2*AM
Αρα η PM ειναι μεσοκαθετος της AB και συνεπως:
PA=PB, ο.ε.δ.