Έστω κύκλος $ C_0 $ ακτίνας $1$, και $A_0 $ ένα σημείο πάνω στον κύκλο. Ο κύκλος $ C_1 $ έχει ακτίνα $ r <1 $ και είναι εσωτερικά εφαπτόμενος στον $ C_0 $ στο σημείο $A_0$.
![[asy] μέγεθος (6cm); πραγματική r = 0,8. ζεύγος nthCircCent (int n) {ζεύγος ans = (0, 0); για (int i = 1 · i <= n; ++ i) ans + = περιστροφή (90 * i - 90) * (r ^ (i - 1) - r ^. επιστροφή ans; } άκυρη dNthCirc (int n) {κλήρωση (κύκλος (nthCircCent (n), r ^ n)); } dNthCirc (0); dNthCirc (1); dNthCirc (2). dNthCirc (3). dot ("$ A_0 $", (1, 0), dir (0)). τελεία ("$ A_1 $", nthCircCent (1) + (0, r), dir (135)). τελεία ("$ A_2 $", nthCircCent (2) + (-r ^ 2, 0), dir (0)); [/ asy]](https://latex.artofproblemsolving.com/4/2/1/42165bad46c0877ff18e5bd3123561e843316d76.png)
Το σημείο $ A_1 $ βρίσκεται στον κύκλο $C_1$, και βρίσκεται $ 90 ^0$ αριστερά από το σημείο $A_0$ στον κύκλο $ C_1$. Ο κύκλος $ C_2 $ έχει ακτίνα $r^2$ και είναι εσωτερικά εφαπτόμενος στον $ C_1 $ στο σημείο $ A_1$.
Με αυτό τον τρόπο σχηματίζεται μία ακολουθία από κύκλους $ C_1, C_2, C_3 ... $ και μια ακολουθία σημείων στους κύκλους $ A_1, A_2, A_3, $ ... , όπου ο κύκλος $ C_n $ έχει ακτίνα $r ^ n $ και είναι εσωτερικά εφαπτομένος στον κύκλο $C n-1$ στο σημείο $ A_ {n-1} $, και το σημείο $A_n $ βρίσκεται επί του $C_n $, $ 90 ^0$ αριστερότερα από το σημείο $ A_ {n-1} $, όπως φαίνεται στο πιο πάνω σχήμα.
Υπάρχει ένα σημείο $B$ μέσα σε όλους αυτούς τους κύκλους. Όταν $r = \dfrac{11}{60}$, η απόσταση από το κέντρο της $C_0 $ να $B$ είναι $\dfrac{m}{n}$, όπου $m$ και $n$ είναι πρώτοι μεταξύ τους. Να βρεθεί το άθροισμα $m + n$.
AIME 2017
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου