Προσθέτουμε κατά μέλη: a^2-b^2-c^2+ab=2011 a^2+3b^2+3c^2-3ab-2ac-2bc=-1997
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=14 a^2+α^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2ac-2bc=14 Παρατηρούμε ότι το παραπάνω είναι 3 τριώνυμα: (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=14 Αυτό μπορεί να ισχύει μόνο για 3 τέλεια τετράγωνα που έχουν άθροισμα 14 και αυτά μπορεί να είναι μόνο τα 1, 4 και 9. Άρα τα a-b, a-c & b-c έχουν τις τιμές 1, 2 και 3 αλλά χωρίς να ξέρουμε ακόμα ποιο είναι ποιο. Επειδή a>=b>=c, έχουμε a-c>a-b και a-c>b-c. Επομένως η μεγαλύτερη τιμή είναι για το a-c, δηλ a-c=3. Για τα άλλα δύο δεν ξέρουμε ακόμα. Έχουμε a=c+3 αλλά μπορεί να είναι a-b=1 δηλ b=a-1 ή a-b=3 δηλ b=a-2. Θα αντικαταστήσουμε αυτές τις τιμές στην πρώτη από τις αρχικές εξισώσεις: Ας εξετάσουμε την πρώτη περίπτωση όπου b=a-1:
a^2-(a-1)^2-(a-3)^2+a(a-1)=2011--> a^2-a^2+2a-1-a^2+6a-9+a^2-a=2011 7a=2021 Όμως το a είναι ακέραιος ενώ 2021/7 δεν είναι ακέραιος. Άρα δε μπορεί να ισχύει το b=a-1, επομένως ισχύει το b=a-2. Αντικαθιστούμε πάλι στην πρώτη εξίσωση και παίρνουμε: a^2-a^2+4a-4-a^2+6a-9+a^2-a=2011-->8a=2024 δηλαδή a=253.
Προσθέτουμε κατά μέλη:
ΑπάντησηΔιαγραφήa^2-b^2-c^2+ab=2011
a^2+3b^2+3c^2-3ab-2ac-2bc=-1997
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=14
a^2+α^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2ac-2bc=14
Παρατηρούμε ότι το παραπάνω είναι 3 τριώνυμα:
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=14
Αυτό μπορεί να ισχύει μόνο για 3 τέλεια τετράγωνα που έχουν άθροισμα 14 και αυτά μπορεί να είναι μόνο τα 1, 4 και 9. Άρα τα a-b, a-c & b-c έχουν τις τιμές 1, 2 και 3 αλλά χωρίς να ξέρουμε ακόμα ποιο είναι ποιο.
Επειδή a>=b>=c, έχουμε a-c>a-b και a-c>b-c. Επομένως η μεγαλύτερη τιμή είναι για το a-c, δηλ a-c=3. Για τα άλλα δύο δεν ξέρουμε ακόμα.
Έχουμε a=c+3 αλλά μπορεί να είναι a-b=1 δηλ b=a-1 ή a-b=3 δηλ b=a-2.
Θα αντικαταστήσουμε αυτές τις τιμές στην πρώτη από τις αρχικές εξισώσεις:
Ας εξετάσουμε την πρώτη περίπτωση όπου b=a-1:
a^2-(a-1)^2-(a-3)^2+a(a-1)=2011-->
a^2-a^2+2a-1-a^2+6a-9+a^2-a=2011
7a=2021
Όμως το a είναι ακέραιος ενώ 2021/7 δεν είναι ακέραιος.
Άρα δε μπορεί να ισχύει το b=a-1, επομένως ισχύει το b=a-2.
Αντικαθιστούμε πάλι στην πρώτη εξίσωση και παίρνουμε:
a^2-a^2+4a-4-a^2+6a-9+a^2-a=2011-->8a=2024 δηλαδή a=253.