Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙVΦ 11η τάξη)

Καλίνιγκραντ 24-30 Απριλίου 2017. Θέματα της 4ης φάσης (τελικής) για την 11η τάξη.

Πρώτη μέρα

1. Ο αριθμός είναι τέτοιος, ώστε και τα δυο αθροίσματα και να είναι ρητοί αριθμοί. Να αποδείξετε, ότι σε ένα από αυτά τα αθροίσματα και οι δυο προσθετέοι είναι ρητοί.

2. Οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο () είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου . Οι ακτίνες και τέμνουν τις πλευρές και στα σημεία και αντίστοιχα. Από το σημείο φέρουμε την ευθεία , παράλληλη προς την ευθεία . Να αποδείξετε, ότι η ευθεία εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .

3. Στον πίνακα είναι γραμμένοι στην σειρά θετικοί αριθμοί . Ο Βασίλης θέλει να καταγράψει κάτω από κάθε αριθμό αριθμό έτσι, ώστε για οποιουσδήποτε δυο εκ των αριθμών ο λόγος του ενός με τον άλλο να είναι ακέραιος. 

Να αποδείξετε, ότι ο Βασίλης μπορεί να γράψει τους επιθυμητούς αριθμούς έτσι, ώστε να ικανοποιείται η ανισότητα

.

4. Ένας ταχυδακτυλουργός και ο βοηθός του έχουν μια τράπουλα με κάρτες, η μια πλευρά των οποίων («πίσω») είναι ίδια για όλες τις κάρτες, και η άλλη είναι χρωματισμένη με ένα από 2017 χρώματα (στην τράπουλα υπάρχουν 1000000 κάρτες κάθε χρώματος). Οι δυο τους προετοιμάζονται να παρουσιάσουν το ακόλουθο κόλπο. 

Ο ταχυδακτυλουργός εξέρχεται από την αίθουσα και οι θεατές τοποθετούν στο τραπέζι σε μια σειρά κάρτες με την πίσω πλευρά προς τα κάτω. Ο βοηθός εξετάζει αυτές τις κάρτες και έπειτα, εκτός από μια, αναποδογυρίζει τις κάρτες με την πίσω πλευρά προς τα πάνω, χωρίς να αλλάξει την σειρά. 

Εν συνεχεία εισέρχεται ο ταχυδακτυλουργός, εξετάζει τις κάρτες, δείχνει σε μια από τις κάρτες με την πίσω πλευρά πάνω και ανακοινώνει το χρώμα της. Για ποιο ελάχιστο ο ταχυδακτυλουργός μπορεί εκ τον προτέρων να συνεννοηθεί με τον βοηθό του έτσι, ώστε το κόλπο να είναι με βεβαιότητα επιτυχές.

Δεύτερη μέρα

5. Έστω πολυώνυμο βαθμού με μη αρνητικούς συντελεστές και και τα μήκη πλευρών ενός τριγώνου. Να αποδείξετε, ότι και οι αριθμοί

και  

αποτελούν μήκη πλευρών ενός τριγώνου.

6. Σε μερικά κελιά τετραγωνικού πίνακα είναι τοποθετημένα πιόνια (ένα σε κάθε κέλι), κόκκινου ή μπλε χρώματος. Τα υπόλοιπα κελιά είναι κενά. Ένα πιόνι «βλέπει» ένα άλλο, αν αυτά βρίσκονται στην ίδια γραμμή ή στήλη. Είναι γνωστό ότι κάθε πιόνι βλέπει ακριβώς πέντε πιόνια διαφορετικού χρώματος από το ίδιο (και πιθανόν κάποια αριθμό από πιόνια με το δικό του χρώμα). Να βρείτε το μεγαλύτερο αριθμό πιονιών που βρίσκονται στον πίνακα.

7. Αρχικά στον πίνακα ήταν γραμμένος ο θετικός ακέραιος . Οποιαδήποτε χρονική στιγμή ο Μιχάλης μπορεί να διαλέξει αριθμό του πίνακα, να το σβήσει και να γράψει όλους τους φυσικούς διαιρέτες του , εκτός από τον ίδιο (στον πίνακα μπορούν να προκύψουν ίδιοι αριθμοί). Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα προέκυψε, ότι στον πίνακα ήταν γραμμένοι αριθμοί. Για ποια αυτό μπορεί να συμβεί;

8. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο . Συμβολίζουμε με και τα κέντρα των εγγεγραμμένων κύκλων και των τριγώνων και αντίστοιχα. Προέκυψε, ότι

  . 

Να αποδείξετε, ότι

.

Πηγή