Γνωρίζουμε ότι τα πίσω λάστιχα ενός αυτοκινήτου φθείρονται έπειτα από $42.000$ km, ενώ τα μπροστινά έπειτα από $58.000$ km.Ποια είναι η μέγιστη απόσταση που μπορεί να διανύσει το αυτοκίνητο αν χρησιμοποιήσουμε τέσσερα καινούργια λάστιχα και μία νέα ρεζέρβα;
('Ολα τα λάστιχα είναι ίδια)
Σε κάθε χλμ που διανύει το αυτοκίνητο, υπάρχουν 2 λάστιχα μπροστά, 2 πίσω και 1 στη θέση της ρεζέρβας.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ βέλτιστη χρήση των λάστιχων, άρα το μέγιστο βεληνεκές του σετ, επιτυγχάνεται αν στο τέλος και τα 5 λάστιχα έχουν εξαντλήσει τα χιλιομετρικά όριά τους. Για να συμβει αυτό, πρέπει κάθε λάστιχο να έχει χρησιμοποιηθεί στά 2/5 του συνολικού ταξιδιού μπροστά, σε άλλα 2/5 πίσω και στο 1/5 στη θέση της ρεζέρβας.
Αν ένα λάστιχο χρησιμοποιηθεί για α χλμ μπροστά και άλλα α χλμ πίσω, υφίσταται την ίδια φθορά με ένα ίδιο λάστιχο που χρησιμοποιείται για α+58000α/42000 = 100α/42 χλμ μπροστά. Επομένως στο όριο ισχύει 100α/42=58000 => α=24360 και το ζητούμενο μέγιστο είναι 5/2*24360=60900 χλμ. Αρκεί να κάνουμε rotation στα λάστιχα κάθε 12180 χλμ, έτσι ώστε λάστιχο να κάνει σε κάθε μια από τις 5 θέσεις από 12180 χλμ.
Γεια σου Θανάση, ωραία λύση.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν $x$ το μέρος της επάρκειας ενός λάστιχου χρησιμοποιούμενου μπροστά τότε πίσω θα είναι $1-x$. Για να πετύχουμε την μέγιστη διαδρομή πρέπει όλα τα λάστιχα να εξαντλήσουν όλη την διάρκεια “ζωής” τους (δηλαδή να μην υπάρχουν λάστιχα που εξάντλησαν την επάρκεια τους και άλλα όχι).
Οπότε $x\cdot 42=(1-x)\cdot 58$ $\Rightarrow x=\dfrac{29}{50}$ (29/50*42=21/50*58), άρα η μέγιστη διαδρομή που μπορούμε να πετύχουμε είναι:
$2\cdot 42000\cdot \dfrac{29}{50}\dfrac{5}{4}=60900 klm$
(Και αφού τα λάστιχα είναι 5 η αλλαγή θα γίνεται κάθε $\dfrac{60900}{5}=12180$ έτσι ώστε το κάθε λάστιχο να “φορεθεί” δύο φορές μπροστά, δύο πίσω και μια φορά ρεζέρβα, όπως γράφει και ο Θανάσης παραπάνω)