Για x=0 στην αρχική εξίσωση παίρνουμε λ=1. Αφού η γραφική παράσταση της f(x)διέρχεται από το σημείο Α(0,1/2) και η f(x) είναι συνεχής ισχύει:$ \lim_{x\to 0}$=f(0)=1/2 (1) Λύνοντας την αρχική εξίσωση ως προς f(x) και για λ=1 έχουμε f(x)=$\frac{k sin^{2}x-\sqrt{1+sin^{2} x}+1}{x^{2}}$ συνεπώς πρέπει να βρούμε εκείνη τη τιμή του k για την οποία θα ισχύει η σχέση (1). Χρησιμοποιώντας δυο φορές τον κανόνα του De l'Hospital το $ \lim_{x\to 0}$=(2k-1)/2 και επειδή πρέπει να ισχύει η (1) (2k-1)/2 =1/2 k=1. H f(x) λοιπόν είναι κλαδική συνάρτηση που ισούται με: $\frac{sin^{2}x-\sqrt{1+sin^{2} x}+1}{x^{2}}$ για $x\neq 0$ και με 1/2 για x= 0. Τώρα όσον αφορά το όριο εύκολα αποδεικνύεται ότι ισούται με 1/2 ως γινόμενο δυο συνεχών συναρτήσεων στο σημείο 0
τέτοια ώστε: 
.
Για x=0 στην αρχική εξίσωση παίρνουμε λ=1.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑφού η γραφική παράσταση της f(x)διέρχεται από το σημείο Α(0,1/2) και η f(x) είναι συνεχής ισχύει:$ \lim_{x\to 0}$=f(0)=1/2 (1)
Λύνοντας την αρχική εξίσωση ως προς f(x) και για λ=1 έχουμε f(x)=$\frac{k sin^{2}x-\sqrt{1+sin^{2} x}+1}{x^{2}}$
συνεπώς πρέπει να βρούμε εκείνη τη τιμή του k για την οποία θα ισχύει η σχέση (1).
Χρησιμοποιώντας δυο φορές τον κανόνα του De l'Hospital το $ \lim_{x\to 0}$=(2k-1)/2 και επειδή πρέπει να ισχύει η (1) (2k-1)/2 =1/2
k=1.
H f(x) λοιπόν είναι κλαδική συνάρτηση που ισούται με: $\frac{sin^{2}x-\sqrt{1+sin^{2} x}+1}{x^{2}}$ για $x\neq 0$ και με 1/2 για
x= 0.
Τώρα όσον αφορά το όριο εύκολα αποδεικνύεται ότι ισούται με 1/2 ως γινόμενο δυο συνεχών συναρτήσεων στο σημείο 0
Συγγνώμη θα πρέπει να κάνω μια σημαντική διόρθωση:
ΑπάντησηΔιαγραφήΓράφοντας $ \lim_{x\to 0}$ εννοώ $\lim_{x\to 0}$ f(x)