Η άσκηση της ημέρας (10 - 11 - 2016)

 Δίνεται συνάρτηση $f:\mathrm{\Re }\to \mathrm{\Re }$ τέτοια ώστε: 

$f(f(x))+2f(x)=4-x$, $x\in \mathrm{\Re }$ και $f(0)=2$.

 α . να δείξετε ότι η $f$ είναι $1-1$. 

 β . να βρείτε το $f(2)$.

 γ. αν η $f$ είναι συνεχής στο $R$ τότε:

 i. να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_o\in (0,2)$ τέτοιο
 ώστε 

$f(x_o)=x_o$.

 ii. να βρείτε το $f(1)$.

 iii.να λύσετε την εξίσωση: 

$f(f^{-1}(-x^2+2x)-1)=2$.

 δ. αν 

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=k\in (-\mathrm{\infty },0)$$

 τότε:

 i. να βρείτε τα όρια 

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$

 ii. να βρείτε το όριο:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{f^2(x)+f(x)+2}+f(x))$

 iii. να βρείτε το $k$.