Δίνεται συνάρτηση $f:\Re \to \Re$ τέτοια ώστε:
$f(f(x)) + 2f(x) = 4 - x$, $x \in \Re$ και $f(0) = 2$.
α . να δείξετε ότι η $f$ είναι $1-1$.
β . να βρείτε το $f(2)$.
γ. αν η $f$ είναι συνεχής στο $R$ τότε:
i. να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ${x_o} \in (0,2)$ τέτοιο
ώστε
ώστε
$f({x_o}) = {x_o}$.
ii. να βρείτε το $f(1)$.
iii.να λύσετε την εξίσωση:
$f({f^{ - 1}}( - {x^2} + 2x) - 1) = 2$.
δ. αν
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f(x)}}{x} = k \in ( - \infty ,0)\]
τότε:
i. να βρείτε τα όρια
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)$
ii. να βρείτε το όριο:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {{f^2}(x) + f(x) + 2} + f(x))$
iii. να βρείτε το $k$.
Το β ερωτημα μηπως ενοοει f(2)=0 ?
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ απαντηση ειναι f(2)=0.
ΔιαγραφήΔιόρθωση για τη τιμή του k στο δ) iii,η σωστή τιμή είναι k=-1
ΑπάντησηΔιαγραφήΟι πιθανές απαντήσεις:
ΑπάντησηΔιαγραφήα)-2<f'(x)<0, f(x)γν.φθίνουσα
β)f(2)=0
γ) i) x0=1
ii) f(1)=1
iii) x=1 (διπλή)
δ)i) + άπειρο,- άπειρο
ii)-1/2
iii)k=-1