Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε
$abc = \dfrac {1} {8}$.
Να αποδειχθεί ότι
\[a ^ 2 + β ^ 2 + γ ^ 2 + a ^ 2 β ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + β ^ 2c ^ 2\ge\dfrac{15}{16}\]
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
1 σχόλιο:
Έχουμε αβγ=1/8 => α^2*β^2*γ^2=1/64, οπότε το πρώτο μέλος της αποδεικτέας ανισότητας γράφεται:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑ= α^2+β^2+γ^2+(1/α^2+1/β^2+1/γ^2)/64.
Εφαρμόζοντας τώρα δύο φορές την ανισότητα αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου, έχουμε:
(α^2+β^2+γ^2)/3 ≥ 3η ρίζα του (α^2*β^2*γ^2) = 1/4 => α^2+β^2+γ^2 ≥ 3/4 και
(1/α^2+1/β^2+1/γ^2)/3 ≥ 3η ρίζα του 1/(α^2*β^2*γ^2) = 4 => 1/α^2+1/β^2+1/γ^2 ≥ 12.
Επομένως Α ≥ 3/4+12/64 = 15/16 ό.έ.δ.