Η άσκηση της ημέρας (12 - 10 - 2016)

Έστω συνάρτηση $f$ ορισμένη στο $(-1,1)$ τέτοια ώστε:

 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x}=1$

 και

$af(x)+1\le \sqrt{x+1}$

 για κάθε $x\in (-1,1)$, $a\in \mathrm{\Re }$.
 i. να αποδείξετε ότι $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ .
 ii. να βρείτε το όριο

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{1}{f(x)}}$

 iii. να βρείτε το όριο

$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)+\eta \mu 2016x}{f(2x)-\eta \mu x}}$