Η άσκηση της ημέρας (11 - 10 - 2016)

Δίνονται οι συναρτήσεις: 

$f(x)=\dfrac{{{x}^{3}}+3x}{{{x}^{2}}-1}$, $g(x)=\dfrac{\alpha }{x+1}$
και   $h(x)=\dfrac{\beta }{x-1}$

α. να βρείτε τα $α, β$  όταν ισχύουν: 

 $\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\frac{2}{3}$ και $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)}{h(x)}=1$

β. αν $α=3$ και $β=2$, να λύσετε την εξίσωση :

${{e}^{x-\alpha \beta }}=1-\ln (x-5)$   (1)

γ. αν $χ_0$ είναι η λύση της (1) να υπολογίσετε το όριο:

\[\underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-2}-x+4}{{{x}^{2}}-7x+6}\]