Η άσκηση της ημέρας (17 - 10 - 2016)

Αν κάθε τετράγωνο έχει μία κορυφή στο κέντρο του προηγούμενου, να βρεθεί το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας..

Λύση

Γράφει ο Κώστας Δόρτσιος

Θεωρούμε κατ’ αρχήν τα δύο πρώτα τετράγωνα στο κατωτέρω σχήμα:

Εύκολο είναι να δειχθεί ότι τα τρίγωνα $(O_{1}BZ)$ και $(O_{1}CE)$ είναι ίσα, διότι έχουν $O_{1}B=O_{1}Z$ και τις προσκείμενες αυτών γωνίες αντίστοιχα ίσες.

Επομένως το τετράπλευρο $(O_{1}ECZ)$είναι ισοδύναμο με το τρίγωνο $(O_{1}BZ)$ το οποίο είναι το ένα τέταρτο του εμβαδού του τετραγώνου $(ABCD)$. 

Άρα το συνολικό εμβαδόν που δημιουργείται από την τοποθέτηση των δύο αυτών τετραγώνων είναι:

$$E\left(ABZHKLEDA\right)=2E-\frac{1}{4}E=\frac{3}{4}E$$

όπου $E$ το εμβαδόν του κάθε τετραγώνου. 

• Αν τώρα θεωρήσουμε πέντε τετράγωνα στη σειρά και όπως περιγράφει η άσκηση αυτή τότε θα έχουμε το σχήμα:

Στην περίπτωση αυτή είναι φανερό ότι το συνολικό πολύγωνο που σχηματίζεται από τα πέντε αυτά ίσα τετράγωνα είναι:

$E\left(o\lambda \iota \kappa \right)=5E-4\cdot \frac{1}{4}E=4E$

• Γενικεύοντας για $n$ με $n\ge 4$ τετράγωνα εύκολα προκύπτει ότι το εμβαδόν που σχηματίζεται σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος θα είναι:

$E\left(o\lambda \iota \kappa \right)=nE-(n-1)\cdot \frac{1}{4}E=\frac{3n+1}{4}E$.

* * *

Κάντε κλικ στα παρακάτω σχήματα, για να δείτε τα δύο αρχεία geogebra: