Τετάρτη 31 Αυγούστου 2016

Σχεδίαση ευθείας

Δίνονται στο επίπεδο τρία σημεία $Α, Β$ και $C$.
Από το σημείο $C$ να φέρετε μια ευθεία τέτοια ώστε το γινόμενο των αποστάσεων των σημείων $Α$ και $Β$ απ' αυτή να είναι μέγιστο. 
Υπάρχει πάντοτε μια τέτοια ευθεία; 
(Ν. Vasilyev) 
Αναρτήθηκε από στις 31.8.16
Ετικέτες

1 σχόλιο:

  1. vimarkoulis@gmail.com4 Ιανουαρίου 2022 στις 9:51 μ.μ.

    Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε ορθοκανονικό
    σύστημα συντεταγμένων xOy, τέτοιο ώστε C=(0,0) , B=(1,0)
    και A=(xA,yA). Θεωρούμε επίσης τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων y=ax, όπου a ο συντελεστής διεύθυνσης (aE(-oo,+oo)). Η απόσταση των Α και Β από κάθε τέτοια ευθεία είναι : d1=▐(yA-a*xA)/√(1+a^2)▐ η απόσταση του Α και d2=▐-a/√(1+a^2)▐ η απόσταση από το Β. Άρα d1*d2=▐(yA-a*xA)*a/(1+a^2)▐. Θεωρούμε τη συνάρτηση δύο μεταβλητών f(u,v)=yA*u-xA*v, όπου u=a/(1+a^2) , v=(a^2)/(1+a^2) και (v-1/2)^2 + u^2 =1/4=(1/2)^2. Το σύνολο Σ=((u,v): (v-1/2)^2 + u^2=1/4) είναι συμπαγές και η συνάρτηση f(u,v) είναι συνεχής, επομένως έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Από πολλαπλασιαστές Lagrange yA=2λu και xA=2λ(v-1/2) (λ διάφορο του 0 και (xA,yA) διάφορο του (0,0),χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω yA διάφορο του μηδενός). Άρα xA/yA=(v-1/2)/u, που με αντικατάσταση των u,v, οδηγεί στο a=(-xA+dA)/yA ή a=(-xA-dA)/yA, όπου dA=√(xA^2 + yA^2). Το σύνολο Σ δεν έχει σύνορο (ως προς τη σχετική τοπολογία), άρα η f παίρνει τη μέγιστη τιμή της για το ένα a και την ελάχιστη για το άλλο. Παίρνοντας την απόλυτη τιμή της f ενδεχομένως η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της να ανταλλάξουν θέση. Η σχεδίαση της ευθείας από το συντελεστή διεύθυνσης, αφού τα τμήματα dA,▐xA▐,▐yA▐ είναι δοσμένα, είναι απλή με κανόνα και διαβήτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)