Ν = 1234567891011121314151617181920212223

Ο αριθμός

${\rm N}=1234567891011121314151617181920212223$

είναι τέλειο τετράγωνο;

Απάντηση

Το τελευταίο ψηφίο ενός τέλειου τετραγώνου εξαρτάται μόνο από το τελευταίο ψηφίο της τετραγωνικής ρίζας του (και από κανένα άλλο). Επομένως, μπορούμε να προσπαθήσουμε να βρούμε ποιο μπορεί να είναι το τελευταίο ψηφίο της τετραγωνικής ρίζας του ${\rm N}$. Δεν μπορεί να είναι το $0$, διότι τότε θα έπρεπε και ο ${\rm N}$ να λήγει σε $0$.
Παρομοίως, το τελευταίο ψηφίο δεν μπορεί να είναι το $1$. Στην πραγματικότητα, αν εξετάσουμε όλα τα ψηφία, βρίσκουμε ότι το τετράγωνό τους δεν μπορεί να λήγει σε $3$: 

το $1^2$ λήγει σε $1$ 

το $2^2$ λήγει σε $4$ 

το $3^2$ λήγει σε $9$ 

το $4^2$ λήγει σε $6$ 

το $5^2$ λήγει σε $5$ 

το $6^2$ λήγει σε $6$ 

το $7^2$ λήγει σε $9$ 

το $8^2$ λήγει σε $4$ 

το $9^2$ λήγει σε $1$ 

το $0^2$ λήγει σε $0$. 

Επομένως, διαπιστώνουμε ότι ο 

${\rm N}=1234567891011121314151617181920212223$ 

δεν είναι τέλειο τετράγωνο. 

Ουσιαστικά αποδείξαμε ότι ένα τέλειο τετράγωνο, γραμμένο στο δεκαδικό σύστημα, λήγει σε ένα από τα ψηφία $0,1,4,5,6$ και 

$9$.