Ένας θετικός ακέραιος ονομάζεται ισορροπημένος, αν ο αριθμός των ψηφίων του ισούται με τον αριθμό των διαφορετικών πρώτων παραγόντων του στην κανονική ανάλυσή του.
Για παράδειγμα, ο αριθμός $21 = 3 · 7$ είναι ισορροπημένος, ενώ ο αριθμός $25 = 5^2$ δεν είναι.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει πεπερασμένος αριθμός ισορροπημένων ακέραιων.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει πεπερασμένος αριθμός ισορροπημένων ακέραιων.
Ο μικρότερος θετικός ακέραιος που έχει 11 διαφορετικούς πρώτους παράγοντες είναι ο 2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31 = 200.560.490.130 που είναι ήδη 12-ψήφιος.
ΑπάντησηΔιαγραφήΔεδομένου ότι όλοι οι μεγαλύτεροι του 31 πρώτοι είναι τουλάχιστον διψήφιοι, κάθε καινούργιος πρώτος που προστίθεται στην παραγοντική παράσταση ενός ακέραιου με 11 ή περισσότερους διαφορετικούς πρώτους παράγοντες θα προσθέτει ένα τουλάχιστον ψηφίο στη δεκαδική παράσταση του αριθμού. Επομένως κάθε θετικός ακέραιος με 11 ή περισσότερους διαφορετικούς πρώτους παράγοντες θα έχει λιγότερους πρώτους παράγοντες από όσο το πλήθος των ψηφίων του.
Αυτό συνεπάγεται ότι ένας ισορροπημένος αριθμός είναι το πολύ 10-ψήφιος, άρα το πλήθος των ισορροπημένων αριθμών είναι πεπερασμένο, ό.έ.δ.