Χρωματίζουμε μαύρα μερικά μοναδιαία τετράγωνα ο' ένα πλέγμα άπειρων διαστάσεων. Αποδείξτε ότι είναι δυνατό νη αποκόψουμε ένα πλήθος (μη μοναδιαίων) τετραγώνων τέτοιων ώστε
(1) να καλύπτουν όλα τα μoναδιαία μαύρα τετράγωνα και
(2) στο καθένα τους, τα μαύρα τετράγωνα να καλύπτουν όχι λιγότερο από το $\dfrac{1}{5}$ και όχι περισσότερο από $\dfrac{4}{5}$ της συνολικής επιφάνειας.
(G. Rozenblume)
Ο αριθμός των μαύρων τετραγώνων είναι πεπερασμένος. Άρα υπάρχει τετράγωνο με πλευρά 2ⁿ που τα περιέχει όλα. Έστω Εμ0 το συνολικό εμβαδό των μαύρων τετραγώνων και αν (1/5)*2ⁿ≤Εμ0≤(4/5)*2ⁿ καλώς, διαφορετικά αν Εμ0>(4/5)*4ⁿ, τότε θεωρούμε ένα μεγαλύτερο n έτσι ώστε (1/5)*4ⁿ≤Εμ0≤(4/5)*4ⁿ ή Εμ0<(1/5)*4ⁿ. Στη δεύτερη περίπτωση χωρίζουμε το τετράγωνο με πλευρά 2ⁿ σε 4 ίσα μικρότερα. Σε καθένα από τα μικρότερα ισχύει ότι Εμ1<(4/5)*4ⁿ/4, διότι αν σε κάποιο ίσχυε Εμ1≥(4/5)*4ⁿ/4 ,τότε Εμ0≥(1/5)*4ⁿ, άτοπο. Αν σε κάποιο ισχύει Εμ1≥(1/5)*4ⁿ/4 το αφήνουμε ως έχει, διαφορετικά συνεχίζουμε. Η διαδικασία έχει πέρας ( μέχρι να φτάσουμε στο τετράγωνο πλευράς 2, όπου είτε δεν υπάρχει μαύρο τετράγωνο, οπότε το αγνοούμε, είτε υπάρχει 1,2 ή 3, αφού δεν μπορεί να είναι 4 γιατί τότε στο τελευταίο βήμα θα παίρναμε τετράγωνο με μαυρισμένο μεγαλύτερο μέρος από τα 4/5 κάτι που δεν θα μπορούσε να συμβαίνει λόγω του προτελευταίου βήματος.).
ΑπάντησηΔιαγραφή