Τετάρτη 13 Ιουλίου 2016

Τι ώρα είναι;

O μεγάλος δείκτης ενός ρολογιού δείχνει ακριβώς σε ένα ολόκληρο λεπτό, ενώ ο μικρός δείκτης βρίσκεται ακριβώς δύο λεπτά πίσω. 
Τι ώρα είναι;
Αναρτήθηκε από στις 13.7.16
Ετικέτες

8 σχόλια:

  1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ14 Ιουλίου 2016 στις 9:59 μ.μ.

    Με βάση τα δεδομένα ο λεπτοδείκτης (μεγάλος δείκτης) βρίσκεται στη θέση $4$ κάποιου πεντάλεπτου και ο ωροδείκτης στην θέση $2$ αυτού του πεντάλεπτου, δηλαδή στα $\dfrac{2}{5}$ αυτής της ώρας, οπότε ο λεπτοδείκτης θα βρίσκεται στα $\dfrac{2}{5}$ του εξηντάλεπτου, ήτοι θα δείχνει $\dfrac{2}{5}\cdot 60=24$ λεπτά. Άρα η ώρα είναι $4:24:00$

    (Θεώρησα ότι "ακριβώς" είναι τα $5,10,15,...,60$ λεπτά.)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Σωκράτης Δ. Ρωμανίδης15 Ιουλίου 2016 στις 9:25 π.μ.

    κ. Αλεξίου, η εκφώνηση στα αγγλικά είναι: The long hand of a very accurate timepiece points exactly at a full minute, while the short hand is exactly two minutes away. What time is it?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ15 Ιουλίου 2016 στις 11:07 π.μ.

    Ευχαριστώ κ. Ρωμανίδη. Δεν “διάβασα” σωστά τα δεδομένα.
    Μία “μπακάλικη” λύση μπορεί να είναι η παρακάτω:
    Όταν ο ωροδείκτης βρίσκεται στο $0$ ενός πενταλέπτου ο λεπτοδείκτης θα βρίσκεται στο $\dfrac{0}{5}\cdot 60=0 (0=0+0)$, άτοπο και απορρίπτεται.
    Όταν ο ωροδείκτης βρίσκεται στο $1$ ενός πενταλέπτου ο λεπτοδείκτης θα βρίσκεται στο $\dfrac{1}{5}\cdot 60=12 (2=1+1)$, άτοπο και απορρίπτεται.
    Όταν ο ωροδείκτης βρίσκεται στο $2$ ενός πενταλέπτου ο λεπτοδείκτης θα βρίσκεται στο $\dfrac{2}{5}\cdot 60=24$ αυτού του $60$λεπτου $(4=2+2)$, δεκτό. Άρα $4:24:00$ μια λύση.
    Όταν ο ωροδείκτης βρίσκεται στο $3$ ενός πενταλέπτου ο λεπτοδείκτης θα βρίσκεται στο $\dfrac{3}{5}\cdot 60=36 (6=3+3)$ αυτού του $60$λεπτου, άτοπο και απορρίπτεται.
    Όταν ο ωροδείκτης βρίσκεται στο $4$ ενός πενταλέπτου ο λεπτοδείκτης θα βρίσκεται στο $\dfrac{4}{5}\cdot 60=48 (8=4+4)$, αυτού του $60$λεπτου, άτοπο και απορρίπτεται.

    Άρα μοναδική λύση $4:24:00$, όπως από τυχαία σύμπτωση βρήκα την πρώτη φορά

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ15 Ιουλίου 2016 στις 11:53 π.μ.

    Αλλιώς, χωρίς "μπακάλη"!
    Αν $a$ οι ώρες και $x$ το "ολόκληρο λεπτό" του $5$-λεπτου $(x=1,2,3,4,5)$ που δείχνει ο ωροδείκτης τότε:

    $a\cdot60+\dfrac{x}{5}\cdot60=60a+5a+(x+2)$

    $\Rightarrow x=\dfrac{5a+2}{11}$, με ακέραιες λύσεις $\boxed{a=4,x=2}$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ15 Ιουλίου 2016 στις 12:19 μ.μ.

      Στην παραπάνω λύση λείπει ένα βήμα. Θα το προσθέσω αργότερα, τώρα πρέπει να φύγω από το σπίτι μου.

      Διαγραφή
    2. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ15 Ιουλίου 2016 στις 3:48 μ.μ.

      $60a+\dfrac{x}{5}\cdot60=60a+5y+(x+2)$ $\Rightarrow \dfrac{x}{5}\cdot60=5y+(x+2)$ $\Rightarrow y=\dfrac{11x-2}{5}$ $\Rightarrow (x=2, y=4)$, οπότε $5y+x+2=5\cdot4+2+2=24$ $\Rightarrow a=4$ και η ώρα είναι $4:24:00$

      Διαγραφή
    3. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ15 Ιουλίου 2016 στις 4:22 μ.μ.

      Στην περίπτωση του αγγλικού κειμένου (“away”) επιπλέον έχουμε:
      $60a+\dfrac{x}{5}\cdot60=60a+5y+(x-2)$
      $\Rightarrow \dfrac{x}{5}\cdot60=5y+(x-2)$
      $\Rightarrow y=\dfrac{11x+2}{5}\Rightarrow$ $(x=3, y=7)$,
      άρα η ώρα είναι $7:36:00 (36=35+1)$,
      ο λεπτοδείκτης βρίσκεται στο $1$ λεπτό μετά τα $35$ λεπτά
      και ο ωροδείκτης στο $7+\dfrac{3}{5}$
      $\left(\dfrac{3}{5}\cdot60=36\ \wedge\ 3-1=2\right)$ δεκτό.

      Διαγραφή
  5. papadim15 Ιουλίου 2016 στις 12:34 μ.μ.

    Η αγγλική εκφώνηση δεν αποκλείει νομίζω την περίπτωση να είναι ο ωροδείκτης 2 λεπτά μπροστά από τον λεπτοδείκτη, οπότε πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις.
    Έστω ότι το ζητούμενο συμβαίνει την ώρα χ και ψ λεπτά, όπου χ,ψ ακέραιοι, με 0≤χ≤11 και 0≤ψ≤59.
    Την ώρα αυτή, ο ωροδείκτης, κινούμενος με γωνιακή ταχύτητα 1/2 μοίρες/λεπτό, θα έχει διανύσει ½*(60χ+ψ) = 30χ+ψ/2 μοίρες (μετά τις 00:00), ενώ ο λεπτοδείκτης, κινούμενος με γωνιακή ταχύτητα 6 μοίρες/λεπτό, θα έχει διανύσει χ πλήρεις κύκλους και κλάσμα κύκλου ίσο με 6ψ μοίρες.
    Δεδομένου ότι μια διαφορά 2 λεπτών στο καντράν αντιστοιχεί σε 2*6=12 μοίρες, θα έχουμε:
    Α) ωροδείκτης πίσω από το λεπτοδείκτη:
    6ψ-(30χ+ψ/2)=12 => χ=(11ψ-24)/60 => χ=4, ψ=24 (ώρα 4:24)
    Β) ωροδείκτης μπροστά από το λεπτοδείκτη
    30χ+ψ/2-6ψ=12 => χ=(11ψ+24)/60 => χ=7, ψ=36 (ώρα 7:36)

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)