Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2015 (9η τάξη)

1. Υπάρχει τριώνυμο $f(x)$ δευτέρου βαθμού με ακέραιους συντελεστές τέτοιο, ώστε $f(f(\sqrt{2}))=0$.

2. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο $ABCD$ ($AD\parallel BC$, $AD>BC$) και σημείο $E$ στον περιγεγραμμένο κύκλο του τέτοιο ώστε $BE\perp AD$. 

Να αποδείξετε ότι $AE+BC>DE$.

3. Τα κελιά ενός τετραγώνου διαστάσεων $2015\times 2015$ χρωματίζονται με τέσσερα χρώματα. Θεωρούμε όλους τους τρόπους τοποθέτησης εσωτερικά αυτού του τετραγώνου σχήματος ταυ (T) των τεσσάρων κελιών (μπορεί και περιστροφές του). Να αποδείξετε ότι το σχήμα περιέχει τέσσερα διαφορετικά χρώματα λιγότερο από το 51\% αυτών των περιπτώσεων.

4. Οι θετικοί αριθμοί $x,y,z$ ικανοποιούν την συνθήκη: $$xy+yz+zx+2xyz=1.$$

Να αποδείξετε ότι $4x+y+z\ge 2$.

5. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο $ABCD$. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $ABC$ τέμνει τις πλευρές $AD$ και $DC$ στα σημεία $P$ και $Q$ αντίστοιχα. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $ADC$ τέμνει τις πλευρές $AB$ και $BC$ στα σημεία $S$ και $R$ αντίστοιχα. Αν το τετράπλευρο $PQRS$ είναι παραλληλόγραμμο, να αποδείξετε ότι και το $ABCD$ θα είναι παραλληλόγραμμο.

6. Στην διαγαλαξιακή αυτοκρατορία υπάρχουν ${10}^{2015}$ πλανήτες, οποιοιδήποτε δύο από τους οποίους συνδέονται με μια κοσμική γραμμή διπλής κατεύθυνσης. Αυτές οι συνδέσεις εξυπηρετούνται από $2015$ μεταφορικές εταιρείες. Ο αυτοκράτορας θέλει να κλείσει $k$ από αυτές τις εταιρίες έτσι, ώστε, χρησιμοποιώντας τις υπόλοιπες, να μπορεί κάποιος να βρει τρόπο να μεταφερθεί από οποιοδήποτε πλανήτη σε κάποιον άλλο. Για ποιο μέγιστο $k$ με σιγουριά μπορεί να επιτευχθεί ένα τέτοιο πλάνο;

7. Ακολουθία φυσικών αριθμών ορίζεται ως εξής: $a_1=1$, $a_2=2$, $a_3=3$, $a_n$ = $-$ ο ελάχιστος φυσικός αριθμός που δεν έχει εμφανιστεί πιο πριν (στην ακολουθία), σχετικά πρώτος με τον $a_{n-1}$ και σχετικά μη πρώτος με τον $a_{n-2}$. Να αποδείξετε, ότι σε αυτή την ακολουθία εμφανίζονται ακριβώς από μια φορά όλοι οι φυσικοί αριθμοί.

Πηγή