Το Πρόβλημα του κινούμενου καναπέ

1) Δίνεται το χωρίου $ABCDEF$ του σχήματος που αποτελείται από δυο τεταρτοκύκλια $ABF, CDE$ και το ορθογώνιο $BCEF$ από το οποίο έχει αφαιρεθεί το ημικύκλιο $(O,R)$.

Να βρεθεί η τιμή της ακτίνας $R$ ώστε το χωρίο να έχει το μέγιστο εμβαδόν.

2) Αν το χωρίο $ABCDEF$ αποτελεί την κάτοψη ενός καναπέ, τότε αυτός ο καναπές μπορεί να περάσει από στροφή $90^0$ διαδρόμου πλάτους $1$. (βλ. animation)

Να δείξετε ότι αν κάποιο χωρίο (οποιουδήποτε σχήματος) έχει εμβαδόν πάνω από δεν μπορεί να περάσει από το στροφή.

Πηγή