Τρία μυρμήγκια

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με $\mathrm{\angle }C={90}^0$. Ένα μυρμήγκι ξεκινάει από το σημείο $A$, και ένα άλλο μυρμήγκι ξεκινάει από το σημείο $B$.

Τα μυρμήγκια κινούνται επί των πλευρών του τριγώνου κατά την φορά $A\to B\to C\to A$ σε έναν ατέλειωτο κύκλο. Τα μέσα των τμημάτων που συνδέουν τα δύο μυρμήγκια σχηματίζουν μια κλειστή περιοχή ${\rm P}$. 

Βρείτε τη μέγιστη δυνατή τιμή του λόγου των εμβαδών

${\displaystyle \frac{(P)}{(ABC)}}$.