3 ανισότητες και 1 εξίωση

1. Έστω $a,b,c$ πραγματικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του $-1$. Να αποδειχθεί ότι

$\text{Math input error}$

$\text{Math input error}$ 

Proposed by Adrian Andreescu, Dallas, USA 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

2. Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a+b+c\ge 3$. Να αποδειχθεί ότι

$abc+2\ge 9a^3+b^3+c^3$. 

Proposed by Mehmet Berke, İs, ler, Denizli, Turkey 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

3. Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξίσωση

$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}={\displaystyle \frac{1}{2}}+\sqrt{x+y+{\displaystyle \frac{1}{4}}}$. 

Proposed by Adrian Andreescu, Dallas, USA 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

4. Έστω $a,b,c$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε 

$ab+bc+ca=a+b+c>0$. 

Να αποδειχθεί ότι

$a^2+b^2+c^2+5abc\ge 8$.

Proposed by An Zhen-Ping, Xianyang Normal University, China

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com