3 ανισότητες και 1 εξίωση

1. Έστω $a, b, c$ πραγματικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του $−1$. Να αποδειχθεί ότι

$a^ 2 + b^ 2 + 2
b^ 2 + c^ 2 + 2
c^ 2 +$

$+ a^ 2 + 2
≥ (a + 1)^2 (b + 1)^2 (c + 1)^2$ 

Proposed by Adrian Andreescu, Dallas, USA 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

2. Έστω $a, b, c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a + b + c ≥ 3$. Να αποδειχθεί ότι

$abc + 2 ≥ 9 a^ 3 + b^ 3 + c^ 3$. 

Proposed by Mehmet Berke, İs, ler, Denizli, Turkey 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

3. Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξίσωση

$\sqrt[3]x + \sqrt[3]y = \dfrac{1}{2} + \sqrt{x + y + \dfrac{1}{4}}$. 

Proposed by Adrian Andreescu, Dallas, USA 

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

4. Έστω $a, b, c$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε 

$ab + bc + ca = a + b + c > 0$. 

Να αποδειχθεί ότι

$a^ 2 + b^ 2 + c^ 2 + 5abc ≥ 8$.

Proposed by An Zhen-Ping, Xianyang Normal University, China

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com