Aν για τους πραγματικούς αριθμούς $a,b,c$ ισχύουν
$a ^2 + ab + b^ 2 = 9 $
$b ^2 + bc + c^2 = 52$
$c ^2 + ca + a ^2 = 49$
να υπολογιστεί η τιμή του κλάσματος
$\dfrac{49b^ 2 + 39bc + 9c^ 2} {a ^2}$.
ΜΙΤ - ΗARVARD Math Contest 2016
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Βρήκα αυτούς τους αριθμούς
ΑπάντησηΔιαγραφήa = 15/√91 , b = 18/√91 , c = 58/√91
Επαληθεύουν και τις τρεις συνθήκες που δίνονται.
Απλή αντικατασταση μας δίνει ότι (49b^2 + 39bc + 9c^2 )/α^2 = 386,08
Στην ιστοσελιδα ΗARVARD Math Contest 2016 δινει απαντηση 52 .
Που είναι το λάθος ?
Μια αλλη προσσεγγιση χωρις να το απλοποιει...
ΑπάντησηΔιαγραφήΑφαιρωντας τις σχεσεις κατα μελη εχω
α+β+γ=43/(γ-α)=40/(γ-β)=3/(β-α)=λ
λυνοντας εχω α=(λ^2 -46)/3λ
β=(λ^2 -37)/3λ
και γ=(λ^2 +83)/3λ.
Κανοντας αντικατασταση
Α=...=(97λ^4 -338λ^2 +9313)/(λ^4 - 92λ^2 +2116)
κανονικα επρεπε να απλοποιηθει...
θα παρακαλουσα τον ΝΙΚ ΚΑL να δωσει μια πιο λεπτομερη λυση.
Ευχαριστω εκ' των προτερων.
Συμφωνω με τη λυση αυτή.
ΔιαγραφήΑπο σημειο Ο φερνω 3 ευθ. τμηματα ΟΑ = a , OB = b , ΟΓ =c . Καθε ευθ. τμημα σχηματιζει γωνια 120 μοιρες με το διπλανο του. Και το ΑΒΓ εχει πλευρες α, β ,γ. Τοτε:
a + b + c = λ = √91
Αυτό προκυπτει από:
a^2+ab+b^2=9
b^2+bc+c^2=52
c^2+ca+a^2=49
Το τρίγωνο εχει περιμετρο 7 + 3 + √52 = 10 + 2√13 και
Ημιπεριμετρο τ = 5 + √13
και από το αθροισμα των εμβαδων είναι :
1/2 ab ημ120ο + 1/2 bc ημ120ο + 1/2 ac ημ120ο = √(τ (τ-α)(τ-β)(τ-γ))
1/2 ab √3/2 + 1/2 bc √3/2 + 1/2 ac √3/2 =
√(5+√13) (2+ √13)(√13-2)(5-√(13) =
√(25-13)(13-4) = √(12 •9) = 6√3
Απαλοιφουμε √3 και παρονομαστες και βγαινει
ab + bc + ac = 24 και μαζι με τα
a^2+ab+b^2=9
b^2+bc+c^2=52
c^2+ca+a^2=49
βγαινει ότι . a + b + c = √91
Αρα όπως σωστα βρηκατε c-b = 40/√91
b-a = 3/√91
c-a = 43/√91