Η μεγαλύτερη δυνατή ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τετραπλεύρου επιτυγχάνεται ,ισοδύναμα, όταν το τετράπλευρο αποκτά το μέγιστο εμβαδόν, άρα όταν καταστεί εγγράψιμο σε κύκλο, οπότε από νόμο συνημιτόνων για μια διαγώνιο βρίσκω τα τριγωνομετρικά μεγέθη δύο απέναντι γωνιών
Θα πρέπει νομίζω να ξεκινήσει κανείς από κάποιον γενικό τύπο εμβαδού και μια τέτοια προσέγγιση θα μπορούσε να είναι η εξής: Το εμβαδό Ε ενός περιγράψιμου σε κύκλο τετραπλεύρου συναρτήσει των μηκών των πλευρών του α,β,γ,δ, με α+γ=β+δ, και δύο απέναντι γωνιών, έστω Α και Γ, υπολογίζεται: Ε = √αβγδ*ημ[(Α+Γ)/2] (στον σύνδεσμο http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/CircumRev.pdf υπάρχει η πλήρης απόδειξη, ως θεώρημα 12) Με δεδομένα τα μήκη των πλευρών, το εμβαδό μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται το ημ[(Α+Γ)/2] στην τιμή 1, πράγμα που συμβαίναι όταν (Α+Γ)/2 = 90° => Α+Γ=180° => το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο.
4 σχόλια:
Η μεγαλύτερη δυνατή ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τετραπλεύρου επιτυγχάνεται ,ισοδύναμα, όταν το τετράπλευρο αποκτά το μέγιστο εμβαδόν, άρα όταν καταστεί εγγράψιμο σε κύκλο, οπότε από νόμο συνημιτόνων για μια διαγώνιο βρίσκω τα τριγωνομετρικά μεγέθη δύο απέναντι γωνιών
ΑπάντησηΔιαγραφή$5^2+7^2-2*35*cosa=4^2+6^2-2*24*cos(180°-a)\Rightarrow$
$cosa=\dfrac{11}{59}\Rightarrow$ $sina=sin(180-a)=$ $\sqrt{1-\dfrac{11^2}{59^2}}=$ $\dfrac{4\sqrt{210}}{59}$
Στη συνέχεια βρίσκω το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου
$E_{max}=\dfrac{1}{2}*(7*5+6*4)*\dfrac{4\sqrt{210}}{59}=$ $2\sqrt{210}$
και άρα $\dfrac{1}{2}*(4+5+6+7)r_{max}=$ $2\sqrt{210}\Rightarrow$
$\boxed{r_{max}=\dfrac{2\sqrt{210}}{11}}$
ΓΙΑΤΙ ΜΕΓΙΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΟΤΑΝ ΕΙΝΑΙ ΕΓΓΡΑΨΙΜΟ;
ΑπάντησηΔιαγραφήΠΩΣ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑI;
ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ !
Θα πρέπει νομίζω να ξεκινήσει κανείς από κάποιον γενικό τύπο εμβαδού και μια τέτοια προσέγγιση θα μπορούσε να είναι η εξής:
ΔιαγραφήΤο εμβαδό Ε ενός περιγράψιμου σε κύκλο τετραπλεύρου συναρτήσει των μηκών των πλευρών του α,β,γ,δ, με α+γ=β+δ, και δύο απέναντι γωνιών, έστω Α και Γ, υπολογίζεται:
Ε = √αβγδ*ημ[(Α+Γ)/2]
(στον σύνδεσμο http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/CircumRev.pdf υπάρχει η πλήρης απόδειξη, ως θεώρημα 12)
Με δεδομένα τα μήκη των πλευρών, το εμβαδό μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται το ημ[(Α+Γ)/2] στην τιμή 1, πράγμα που συμβαίναι όταν (Α+Γ)/2 = 90° => Α+Γ=180° => το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο.
Σε ευχαριστώ πολύ !
ΑπάντησηΔιαγραφή