ME = MF

Δείτε τη λύση του αγαπητού φίλου Νίκου Φραγκάκη (2^ο Γενικό Λύκειο Ιεράπετρας):

Γράφουμε πρώτα  π. χ. τον κύκλο $C,D,E$ που τέμνει τη διχοτόμο  $AD$ στο $M$. Έστω δε $H$ το ορθόκεντρο του  τριγώνου $ABC$. Επειδή 

$AE\cdot AC=AM\cdot AD\kappa \alpha \iota AE\cdot AC=AF\cdot AB$ 

θα είναι  $AF\cdot AB=AM\cdot AD$ και άρα τα σημεία $B,D,M,F$ είναι ομοκυκλικά. 

Τώρα  από

$\widehat{a_1}+\widehat{a_2}+\widehat{a_3}={180}^{\circ }-\hat{C}+{180}^{\circ }-\hat{B}$ 

θα είναι $\boxed{{\displaystyle \widehat{a_3}+A={180}^{\circ }}}$ και συνεπώς   τα σημεία $A,F,M,E$(  κατ’ επέκταση και τα σημεία   $A,F,M,E,H$) είναι ομοκυκλικά, με άμεση συνέπεια οι χορδές $MF\kappa \alpha \iota ME$ να είναι ίσες λόγω της διχοτόμου $AM$ της γωνίας $\widehat{FAE}$.

22/1/2016