Γράφουμε πρώτα π. χ. τον κύκλο $C,D,E$ που τέμνει τη διχοτόμο $AD$ στο $M$. Έστω δε $H$ το ορθόκεντρο του τριγώνου $ABC$. Επειδή
$AE \cdot AC = AM \cdot AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE \cdot AC = AF \cdot AB$
θα είναι $AF \cdot AB = AM \cdot AD$ και άρα τα σημεία $B,D,M,F$ είναι ομοκυκλικά.
Τώρα από
$\widehat {{a_1}} + \widehat {{a_2}} + \widehat {{a_3}} = 180^\circ - \widehat C + 180^\circ - \widehat B$
θα είναι $\boxed{\widehat {{a_3}} + A = 180^\circ }$ και συνεπώς τα σημεία $A,F,M,E$( κατ’ επέκταση και τα σημεία $A,F,M,E\,\,,H$) είναι ομοκυκλικά, με άμεση συνέπεια οι χορδές $MF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ME$ να είναι ίσες λόγω της διχοτόμου $AM$ της γωνίας $\widehat {FAE}$.
22/1/2016
$\triangle AFM\sim \triangle ADB\Rightarrow$ $\dfrac{MF}{DB}=\dfrac{AM}{AB}\Rightarrow $ $MF= \dfrac{DB\cdot AM}{AB}(1)$
ΑπάντησηΔιαγραφή$\triangle AEM\sim \triangle ADC\Rightarrow$ $\dfrac{ME}{DC}=\dfrac{AM}{AC} \Rightarrow $ $ME=\dfrac{DC\cdot AM}{AC} (2)$
Διαίρεση κατά μέλη: $\dfrac{MF}{ME}=\dfrac{DB\cdot AC}{AB\cdot DC}=1$ (αφού $AD$ διχοτόμος της $\angle BAC)$
Βλέποντας την λύση του Νίκου, γεια σου Νίκο, διαπίστωσα ότι έχω κάνει ένα "αλματάκι" στην απόδειξη.
Διαγραφήθα το "γεφυρώσω" το μεσημέρι - απόγευμα.
Το ...γεφύρωμα :-)
ΔιαγραφήΕπειδή $\angle BFC=\angle BEC =90° \Rightarrow$ $\triangle ABE \sim \triangle AFC \Rightarrow$ $AE\cdot AC=AF\cdot AB$ και επειδή $AE\cdot AC=AM\cdot AD$, άρα και $AF\cdot AB=AM\cdot AD$, άρα ο περίκυκλος του $\triangle BFD$ διέρχεται από το σημείο $M$ και η συνέχεια όπως παραπάνω.
Υπάρχει ας το πούμε ένα τυπογραφικό λάθος στην λύση που έχω βάλει .
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτη γραμμή $\widehat {{a_1}} + \widehat {{a_2}} + \widehat {{a_3}} = 180^\circ - \widehat C + 180^\circ - \widehat B$ το σωστό είναι :
$\widehat {{a_1}} + \widehat {{a_2}} + \widehat {{a_3}} = 180^\circ - \widehat C + 180^\circ - \widehat B + \widehat {{a_3}} = 180^\circ + \widehat A + \widehat {{a_3}}$.