Α΄ Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO (2016)

Πρόβλημα 1

Αν $a,b,c,d$ θετικοί ακέραιοι αριθμοί, να αποδείξετε ότι η εξίσωση

   

έχει άπειρες λύσεις στο σύνολο των θετικών ακεραίων.

Πρόβλημα 2

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο , $AE$ το ύψος του και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, που έχει κέντρο . Φέρουμε την εφαπτομένη του στο σημείο . Από το σημείο φέρουμε παράλληλη προς την , που τέμνει την ευθεία $BC$ στο σημείο .
Αν $O'$ το συμμετρικό του ως προς την $BC$ και $Z$ το σημείο τομής της $AE$ με τον κύκλο , να αποδείξετε ότι:

(α) η $AC$ είναι κάθετη στην

(β)

Πρόβλημα 3

Δίνονται 14 θετικοί ακέραιοι αριθμοί , που είναι όλοι μεγαλύτεροι του 4.

(α) Να βρείτε το πλήθος όλων των αθροισμάτων (όχι απαραίτητα διαφορετικά), όπου 

.

(β) Θεωρούμε ένα τετραγωνικό πίνακα που στα κελιά του είναι γραμμένοι οι αριθμοί από το 0 μέχρι το 99 σε διψήφια μορφή, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Από κάθε ένα από τα αθροίσματα του ερωτήματος (α) διαγράφουμε όλα τα ψηφία, εκτός από το τελευταίο διψήφιο τμήμα. Στη συνέχεια, σβήνουμε από τον πίνακα το κελί που περιέχει το διψήφιο αυτό τμήμα. Να αποδείξετε ότι είναι αδύνατον με αυτήν τη διαδικασία να διαγράψουμε όλους τους αριθμούς που περιέχονται σε όλα τα κελιά του πίνακα.

Πρόβλημα 4

Έστω $T$ το σύνολο των θετικών ακεραίων $ν$, για τους οποίους τα τριώνυμα

έχουν ρητές ρίζες.

(α) Να βρείτε το ελάχιστο στοιχείο του συνόλου $T$.

(β) Να βρείτε το ελάχιστο στοιχείο τέτοιο, ώστε ο αριθμός να είναι σύνθετος.

(γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε ο αριθμός είναι σύνθετος.

Πηγή