Τρίτη 26 Ιανουαρίου 2016

Μήκος διαγωνίου

Σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB=2R$, κινείται χορδή $CD=R$. 
Ονομάζουμε $S,T$ τα σημεία τομής των $AC,BD$ και $AD,BC$ αντίστοιχα. Υπολογίστε το τμήμα $ST$.
Αναρτήθηκε από στις 26.1.16
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. Κουνελοϊός30 Ιανουαρίου 2016 στις 6:33 μ.μ.

    Είναι γωνία ACB=γωνία ADB=π/2, ως εγγεγραμμένες στον κύκλο διαμέτρου AB που βαίνουν σε ημικύκλιο. Άρα στο τρίγωνο ABS, οι AD και BC είναι ύψη και το σημείο τομής τους T ορθόκεντρο αυτού. Έστω ότι η προέκταση του ST προς το μέρος του T τέμνει την AB στο E. Τότε το τμήμα ES είναι το τρίτο ύψος του τριγώνου ABS. Τα ορθογώνια τρίγωνα CST και AES είναι όμοια, διότι γωνία CST=γωνία ASE. Επίσης το τρίγωνο AES είναι όμοιο με το ορθογώνιο τρίγωνο ABC, διότι γωνία EAS=γωνία BAC. Άρα τα τρίγωνα CST και ABC είναι επίσης όμοια και ισχύει ότι (ST)/(AB)=(CS)/(BC), ή (ST)/(2R)=(CS)/(BC). Αν F είναι το κέντρο του κύκλου, τότε το τρίγωνο CDF είναι ισόπλευρο με (CD)=(CF)=(DF)=R, οπότε γωνία CFD=π/3 και επομένως θα είναι γωνία CBS=γωνία CBD=(γωνία CFD)/2=π/6. Τελικά θα έχουμε ότι (CS)/(BC)=εφ(γωνία CBS)=εφ(π/6)=3^(1/2)/3, οπότε (ST)/(2R)=3^(1/2)/3, ή (ST)=[2*3^(1/2)/3]R.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)