Τέσσερα αδέλφια θα μοιραστούν μεταξύ τους 137 χρυσά νομίσματα έτσι, ώστε ανά δύο να μην πάρουν ίδιο αριθμό νομισμάτων. Κάθε ένα από τα αδέλφια θα πάρει αριθμό νομισμάτων ακέραιο πολλαπλάσιο από τον αριθμό που θα πάρει ο επόμενος μικρότερος αδελφός. Πόσα χρυσά νομίσματα θα πάρει ο κάθε αδελφός; Να βρείτε όλες τις λύσεις.
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
Β΄ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ IMC (STAGE III) 2015
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Έστω ότι τα 4 αδέλφια πήραν κατά αύξουσα σειρά ηλικίας χ, κχ, λκχ και μλκχ νομίσματα, με κ,λ,μ >1 (αλλιώς, για τιμές 0 ή 1, θα είχαμε αντιστοίχως μηδενικά ή ίσα ποσά νομισμάτων) .
ΑπάντησηΔιαγραφήΕίναι χ+κχ+λκχ+μλκχ=137 =>χ(1+κ+λκ+μλκ)=137.
Ο 137 είναι πρώτος, επομένως χ=1 και κ+λκ+μλκ=136 => κ(1+λ+μλ)=136=2^3*17
Για κ=2 => 1+λ+μλ=68 => λ(1+μ)=67, πρώτος => λ=1 ή μ=0, μη δεκτή.
Με όμοιο τρόπο, σε μη δεκτές λύσεις καταλήγουμε για τιμές κ= 17, 34, 68.
Οι μόνες τιμές κ που δίνουν δεκτές τιμές για τα λ και μ είναι οι:
κ=4 με ζευγάρια τιμών (λ,μ) = (3,10) ή (11,2) και
κ=8 με ζευγάρια τιμών (λ.μ)= (2,7) ή (4,3)
Υπάρχουν επομένως 4 δυνατοί τρόποι μοιρασιάς των 137 νομισμάτων, οι 1+4+12+120, 1+4+44+88, 1+8+16+112 και 1+8+32+96.