Τρεις αριθμοί επιλέγονται τυχαία από το διάστημα [0,1].
Ποια είναι η πιθανότητα οι αριθμοί αυτοί να είναι τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου;
Ποια είναι η πιθανότητα οι αριθμοί αυτοί να είναι τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου;
1996 Singapore Mathematical Olympiad
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Πολύ όμορφο πρόβλημα γεωμετρικού υπολογισμού πιθανοτήτων!
ΑπάντησηΔιαγραφήΚάθε πιθανή τριάδα αριθμών (χ,ψ,ζ) στο [0,1]μπορεί να παρασταθεί ως σημείο στο εσωτερικό ή την επιφάνεια ενός κύβου ακμής 1 και όγκου 1, τοποθετημένου κατάλληλα σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Μια τριάδα δεν δίνει τρίγωνο αν ένας από τους τρεις αριθμούς είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το άθροισμα των άλλων δύο, αν δηλαδή:
χ ≥ ψ+ζ ή ψ ≥ χ+ζ ή ζ ≥ χ+ψ
Κάθε μια από τις παραπάνω ανισότητες αντιστοιχεί και σε ένα διαφορετικό τμήμα του κύβου, σχήματος ορθού τετραέδρου, βάσης ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου με ίσες κάθετες πλευρές 1 και ύψους 1. Ο όγκος κάθε τέτοιου τετραέδρου είναι 1/3*1/2*1 = 1/6 και καθένα από αυτά είναι ξεχωριστό (δεν υπάρχουν κοινοί χώροι - τομές ανάμεσά τους).
Επομένως, οι τριάδες (χ,ψ,ζ) που δίνουν τρίγωνο αντιστοιχούν στον υπολειπόμενο όγκο του κύβου, μετά από την αφαίρεση των όγκων των τριών τετραέδρων, δηλαδή: 1 – 3*1/6 = 1/2 και αυτή είναι η ζητούμενη πιθανότητα.
Γεια σου φίλε Γιώργη! Σε ευχαριστώ και για τη θετική κρίση και για την ουσιαστική σου επεξήγηση. Και σιγά που θα περίμενες την άδειά μου, την έχεις δεδομένη εν λευκώ και το ξέρεις.
ΑπάντησηΔιαγραφή