Σάββατο 23 Ιανουαρίου 2016

Στο παρά 5

Nα βρεθεί ο μικρότερος θετικός αριθμός $n$, για τον οποίο ισχύει:
$\dfrac{5^{n+1}+2^{n+1}}{5^{n}+2^{n}}>4,99$.
Harvard–MIT Mathematics Tournament (HMMT) 2013
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 23.1.16
Ετικέτες

1 σχόλιο:

  1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ23 Ιανουαρίου 2016 στις 4:15 μ.μ.

    Ο μικρότερος θετικός αριθμός $n$ είναι ο $ n=7$

    $\dfrac{5^{n+1}+2^{n+1}}{5^n+2^n}>4.99\Rightarrow$

    $5\cdot 5^n+2\cdot2^n>4.99\cdot 5^n+4.99\cdot2^n \Rightarrow$

    $0.01\cdot 5^n>2.99\cdot2^n \Rightarrow$ $\cdot 5^n>299\cdot2^n \Rightarrow$

    $\dfrac{5^n}{2^n}>299\Rightarrow \dfrac{10^n}{4^n}>299$

    και με κάποιες πραξούλες
    ..........................................
    $\dfrac{10^6}{4^6}=$ $\dfrac {10^6}{64^2}=$ $\dfrac{1000000}{4096}<$ $\dfrac{1000000}{4000}=$ $250<299$

    $\dfrac{10^7}{4^7}=$ $\dfrac{10000000}{16384}>$ $\dfrac{10000000}{20000}=500>299$

    Όχι και ότι καλύτερο...

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)