Σάββατο 19 Δεκεμβρίου 2015

$x + y = z$

Αν δύο μοναδιαίοι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, και από ένα σημείο $Ρ$ του ενός κύκλου
φέρουμε τις τέμνουσες $PQ$ και $PR$ και των δύο κύκλων, τότε να αποδειχθεί ότι για τα τόξα $x,y,z$ ισχύει
$x + y = z$.
Αναρτήθηκε από στις 19.12.15
Ετικέτες ,

2 σχόλια:

  1. papadim21 Δεκεμβρίου 2015 στις 11:30 π.μ.

    Από το κάτω άκρο του τόξου ψ, έστω Α, φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς την PQ, η οποία τέμνει τον κύκλο δεξιά στο σημείο Β.
    Οι γωνίες QPA και ΒΑR είναι ίσες (ως εντός, εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων PQ και ΑΒ, που τέμνονται από την PR) και αφού είναι εγγεγραμμένες σε ίσους κύκλους, βλέπουν σε ίσα τόξα, δηλαδή τόξο χ = τόξο BR (1).
    Επίσης, οι γωνίες QAB και PQA είναι ίσες (ως εντός και εναλλάξ των παραλλήλων PQ και ΑΒ, που τέμνονται από την AQ) και αφού είναι εγγεγραμμένες στον ίδιο κύκλο, βλέπουν σε ίσα τόξα, δηλαδή τόξο ψ = τόξο BQ (2).
    Προσθέτοντας κ.μ. τις (1) και (2), έχουμε τόξο χ+ τόξο ψ = τόξο BR+ τόξο BQ = τόξο z (ό.έ.δ.)
    Νομίζω ότι και στην περίπτωση που οι δύο κύκλοι ήταν τεμνόμενοι, αντί εφαπτόμενοι, πάλι θα ίσχυε η αντίστοιχη ισότητα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. papadim21 Δεκεμβρίου 2015 στις 11:38 π.μ.

      Συμπληρώνω: είτε εφαπτόμενοι είτε τεμνόμενοι είτε χωρίς κανένα κοινό σημείο, ισχύει πάντα η χ+ψ=z.

      Διαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)