Τετάρτη 28 Οκτωβρίου 2015

Είναι σωστό;

Αν για μια συνάρτηση $f$ υπάρχει το όριο
$\mathop {\lim }\limits_{h \to \,0} \dfrac{f(x_0+h) - f(x_0-h)}{h}$
και είναι πραγματικός αριθμός, είναι η $f$ παραγωγίσιμη στο $x_0$;
Αναρτήθηκε από στις 28.10.15
Ετικέτες ,

6 σχόλια:

  1. Unknown28 Οκτωβρίου 2015 στις 9:18 μ.μ.

    Μόνο αν υπάρχει το f(xo).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Unknown28 Οκτωβρίου 2015 στις 9:40 μ.μ.

    Νομίζω ότι δεν είναι σωστός ο ισχυρισμός διότι για την συνάρτηση με τύπο 2χ για χ μη αρνητικό και -χ για χ αρνητικό έχουμε ότι το πιο πάνω όριο στο μηδέν υπάρχει και είναι ίσο με το 1 ενώ ή συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο μηδεν.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Κουνελοϊός29 Οκτωβρίου 2015 στις 9:08 μ.μ.

      Αυτό ισχύει για κάθε συνάρτηση f της μορφής: f(x)=αx, για x<0 και f(x)=βx, για x μεγαλύτερο από ή ίσο με 0, όπου βέβαια α διάφορο του β, για να μην είναι η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο 0.

      Διαγραφή
  3. Doloros29 Οκτωβρίου 2015 στις 9:51 μ.μ.

    Και όχι μόνο Φώτη .

    Η συνάρτηση $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
    {x^2},\,x < 0 \hfill \\
    x\,,x \geqslant 0 \hfill \\
    \end{gathered} \right.$ είναι παντού συνεχής στο $\mathbb{R}$ με $f(0) = 0$. Στο ${x_0} = 0$ έχει την ιδιότητα της υπόθεσης κι αυτό γιατί : $\begin{gathered}
    \mathop {\lim }\limits_{h \to \,\,{0^ + }} \dfrac{{f(h) - f( - h)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to \,\,{0^ + }} \dfrac{{h - {{( - h)}^2}}}{h} = \hfill \\
    \mathop {\lim }\limits_{h \to \,\,{0^ + }} \dfrac{{h - {h^2}}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to \,\,{0^ + }} (1 - h) = 1 \hfill \\
    \end{gathered} $
    ενώ $\begin{gathered}
    \mathop {\lim }\limits_{h \to \,\,{0^ - }} \dfrac{{f(h) - f( - h)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to \,\,{0^ - }} \dfrac{{{h^2} - ( - h)}}{h} = \hfill \\
    \mathop {\lim }\limits_{h \to \,\,{0^ - }} \dfrac{{{h^2} + h}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to \,\,{0^ - }} (1 + h) = 1 \hfill \\
    \end{gathered} $ .
    Εν τούτοις η συνάρτηση δεν παραγωγίζεται στο ${x_0} = 0$.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Κουνελοϊός29 Οκτωβρίου 2015 στις 10:23 μ.μ.

      Από ό,τι κατάλαβα κύριε Φραγκάκη, είστε ειδικός στο να λύνετε γεωμετρικές ασκήσεις που αφορούν εύρεση γωνίας. Υπάρχει κάποια γενική μεθοδολογία που μπορεί να ακολουθήσει κανείς ώστε να αντιμετωπίσει αυτή την κατηγορία ασκήσεων;

      Διαγραφή
    2. Doloros29 Οκτωβρίου 2015 στις 10:34 μ.μ.

      Ναι συνήθως κάποιος κατάλληλος κύκλος ξεκλειδώνει την άσκηση .

      Διαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)