x=?

Να βρεθεί η γωνία $x$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Δείτε τη λύση που μου έστειλε ο συνάδελφος Νίκος Φραγκάκης (Doloros) από την Ιεράπετρα:

Ας είναι $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ADC$ αντίστοιχα.

Προφανώς  τα τρίγωνα $KAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LAD$ είναι ισόπλευρα, αφού οι επίκεντρες γωνίες είναι διπλάσιες από την $A\widehat CB = 30^\circ $.Επειδή

$A\widehat BD + D\widehat AK = D\widehat AK + K\widehat AL = 60^\circ $ 

θα είναι $\widehat {{x_2}} = \widehat {{x_1}}$ και άρα τα τρίγωνα $ABD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AKL$ θα είναι ίσα $(\Pi  - \Gamma  - \Pi )$ με άμεση συνέπεια και η γωνία $A\widehat KL = 24^\circ $. Όμως η διάκεντρος $KL$ είναι μεσοκάθετος στην κοινή χορδή $AC$ και άρα $L\widehat KC = 24^\circ $ . Τώρα στο ισοσκελές τρίγωνο $CDK(CD = CK)$ με γωνία στην κορυφή $36^\circ $ , η κάθε μια από τις γωνίες της βάσης του είναι $72^\circ $ και κατά συνέπεια $\widehat \theta  = 72^\circ  - 24^\circ  - 24^\circ  = 24^\circ $.
Εδώ επί της ουσίας «ξεκλειδώνεται» ή άσκηση με διάφορους τρόπους.
π. χ.

Από το χαρταετό $ADKL$ η $AK$ διχοτόμος των γωνιών του στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K$, οπότε $\boxed{\widehat {{x_1}} = \widehat {{x_2}} = 30^\circ }$ και η γωνία $\widehat x$ ως εξωτερική στο τρίγωνο $ADB$ θα είναι $\widehat x = 30^\circ  + 24^\circ  \Rightarrow \boxed{\widehat x = 54^\circ }$.