x=?

Να βρεθεί η γωνία $x$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Δείτε τη λύση που μου έστειλε ο συνάδελφος Νίκος Φραγκάκης (Doloros) από την Ιεράπετρα:

Ας είναι $K\kappa \alpha \iota L$ τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $ABC\kappa \alpha \iota ADC$ αντίστοιχα.

Προφανώς  τα τρίγωνα $KAB\kappa \alpha \iota LAD$ είναι ισόπλευρα, αφού οι επίκεντρες γωνίες είναι διπλάσιες από την $A\hat{C}B={30}^{\circ }$.Επειδή

$A\hat{B}D+D\hat{A}K=D\hat{A}K+K\hat{A}L={60}^{\circ }$ 

θα είναι $\widehat{x_2}=\widehat{x_1}$ και άρα τα τρίγωνα $ABD\kappa \alpha \iota AKL$ θα είναι ίσα $(\mathrm{\Pi }-\mathrm{\Gamma }-\mathrm{\Pi })$ με άμεση συνέπεια και η γωνία $A\hat{K}L={24}^{\circ }$. Όμως η διάκεντρος $KL$ είναι μεσοκάθετος στην κοινή χορδή $AC$ και άρα $L\hat{K}C={24}^{\circ }$ . Τώρα στο ισοσκελές τρίγωνο $CDK(CD=CK)$ με γωνία στην κορυφή ${36}^{\circ }$ , η κάθε μια από τις γωνίες της βάσης του είναι ${72}^{\circ }$ και κατά συνέπεια $\hat{\theta }={72}^{\circ }-{24}^{\circ }-{24}^{\circ }={24}^{\circ }$.
Εδώ επί της ουσίας «ξεκλειδώνεται» ή άσκηση με διάφορους τρόπους.
π. χ.

Από το χαρταετό $ADKL$ η $AK$ διχοτόμος των γωνιών του στα $A\kappa \alpha \iota K$, οπότε $\boxed{{\displaystyle \widehat{x_1}=\widehat{x_2}={30}^{\circ }}}$ και η γωνία $\hat{x}$ ως εξωτερική στο τρίγωνο $ADB$ θα είναι $\hat{x}={30}^{\circ }+{24}^{\circ }\Rightarrow \boxed{{\displaystyle \hat{x}={54}^{\circ }}}$.