α) Αν η f δεν ήταν 1-1, θα έπρεπε να υπάρχει τιμή f που είναι εικόνα δύο διαφορετικών στοιχείων του συνόλου ορισμού, θα υπήρχαν δηλαδή στοιχεία α, β του συνόλου ορισμού, με α#β και f(α)=f(β). Αφού όμως f(f(x))=x για κάθε χ€R, τότε f(f(α))=α και f(f(β)=β και αφού f(α)=f(β), θα έπρεπε και f(f(α))=f(f(β)) => α=β. Αντίφαση.
β) g(f(x)=e^f(f(x))+e^f(x) => g(f(x)=e^x+e^f(x), οπότε η εξίσωση γράφεται: e^x+e^f(x) = e^x+e => e^f(x) = e =>f(x)=1 => x=3
Φώτη καλησπέρα. Το αν είναι πιο εύκολος ή πιο δύσκολος ένας τρόπος λύσης πολλές φορές είναι θέμα υποκειμενικό . Το συγκεκριμένο πρώτο ερώτημα από μεν τον $Papadim$ λύθηκε με βάσει το ορισμό και κατέληξε σε άτοπο ενώ από σένα με βάσει το θεώρημα που έπεται του ορισμού .
Η λύση της εβδομάδας!! (με την άδεια του 1ου Λυκείου Γιαννιτσών) Γενικότερα, αν f(x1)=x2, εφόσον και f(f(x1))=x1 => f(x2)=x1, δηλαδή η f είναι αντιστρέψιμη (να ακόμα μία ακόμα απόδειξη, μέσω άλλου θεωρήματος, ότι είναι 1-1). Και μάλιστα, καθώς η αντίστροφη της f είναι η ίδια η f, η f είναι αυτοαντίστροφη.
α) Αν η f δεν ήταν 1-1, θα έπρεπε να υπάρχει τιμή f που είναι εικόνα δύο διαφορετικών στοιχείων του συνόλου ορισμού, θα υπήρχαν δηλαδή στοιχεία α, β του συνόλου ορισμού, με α#β και f(α)=f(β). Αφού όμως f(f(x))=x για κάθε χ€R, τότε f(f(α))=α και f(f(β)=β και αφού f(α)=f(β), θα έπρεπε και f(f(α))=f(f(β)) => α=β. Αντίφαση.
ΑπάντησηΔιαγραφήβ) g(f(x)=e^f(f(x))+e^f(x) => g(f(x)=e^x+e^f(x), οπότε η εξίσωση γράφεται:
e^x+e^f(x) = e^x+e => e^f(x) = e =>f(x)=1 => x=3
Φώτη καλησπέρα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο αν είναι πιο εύκολος ή πιο δύσκολος ένας τρόπος λύσης πολλές φορές είναι θέμα υποκειμενικό .
Το συγκεκριμένο πρώτο ερώτημα από μεν τον $Papadim$ λύθηκε με βάσει το ορισμό και κατέληξε σε άτοπο ενώ από σένα με βάσει το θεώρημα που έπεται του ορισμού .
Νίκος
Αφού συμφωνήσω με τις παρατηρήσεις των φίλων, θα πρότεινα ως ερώτημα γ) της άσκησης την επίλυση της εξίσωσης:
ΑπάντησηΔιαγραφήg(f(x)) = e^x+e^3
Η λύση της εβδομάδας!! (με την άδεια του 1ου Λυκείου Γιαννιτσών)
ΔιαγραφήΓενικότερα, αν f(x1)=x2, εφόσον και f(f(x1))=x1 => f(x2)=x1, δηλαδή η f είναι αντιστρέψιμη (να ακόμα μία ακόμα απόδειξη, μέσω άλλου θεωρήματος, ότι είναι 1-1). Και μάλιστα, καθώς η αντίστροφη της f είναι η ίδια η f, η f είναι αυτοαντίστροφη.