Translate Whole Page to Read and Solve

Κυριακή 16 Αυγούστου 2015

x=?

Να βρεθεί η γωνία x.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Δείτε τη λύση του αγαπητού φίλου Νίκου Φραγκάκη (Doloros):
Λύση
Έστω σημείο K της  πλευράς BΓ με KΓ=KΔ . τότε 
ΔK^B=KΓ^Δ+KΔ^Γ=2x^=B^ 
και άρα 
BΔ=ΔK=KΓ=ΓA
Εντός του τριγώνου  και δια του A φέρνουμε ευθεία που να σχηματίζει με την AB γωνία x^. Ας είναι E το σημείο που αυτή τέμνει την BΓ. Το τετράπλευρο AΔEΓ είναι εγγράψιμο και αφού 
EA^Γ=(90+x^)x^=90 
το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου θα ανήκει στην EΓ ( και μάλιστα θα είναι το μέσον του ). Όμως το σημείο της EΓ που ισαπέχει των Δ,Γ είναι το K. Μετά απ’ αυτά το τρίγωνο AKΓ είναι ισόπλευρο. Η γωνία θ^ εξωτερική στο  τρίγωνο AKΓ θα ισούται με:
θ^=B^+KA^B=B^+KΔ^A=B^+2B^=6x^
Δηλαδή x^=10.