x=?

Να βρεθεί η γωνία $x$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Δείτε τη λύση του αγαπητού φίλου Νίκου Φραγκάκη (Doloros):

Λύση

Έστω σημείο ${\rm K}$ της  πλευράς ${\rm B}\Gamma $ με ${\rm K}\Gamma  = {\rm K}\Delta $ . τότε 

$\Delta \widehat {\rm K}{\rm B} = {\rm K}\widehat \Gamma \Delta  + {\rm K}\widehat \Delta \Gamma  = 2\widehat x = \widehat {\rm B}$ 

και άρα 

${\rm B}\Delta  = \Delta {\rm K} = {\rm K}\Gamma  = \Gamma {\rm A}$. 

Εντός του τριγώνου  και δια του ${\rm A}$ φέρνουμε ευθεία που να σχηματίζει με την ${\rm A}{\rm B}$ γωνία $\widehat x$. Ας είναι $E$ το σημείο που αυτή τέμνει την ${\rm B}\Gamma $. Το τετράπλευρο ${\rm A}\Delta {\rm E}\Gamma $ είναι εγγράψιμο και αφού 

${\rm E}\widehat {\rm A}\Gamma  = (90^\circ  + \widehat x) - \widehat x = 90^\circ $ 

το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου θα ανήκει στην ${\rm E}\Gamma $ ( και μάλιστα θα είναι το μέσον του ). Όμως το σημείο της ${\rm E}\Gamma $ που ισαπέχει των $\Delta ,\Gamma $ είναι το ${\rm K}$. Μετά απ’ αυτά το τρίγωνο ${\rm A}{\rm K}\Gamma $ είναι ισόπλευρο. Η γωνία $\widehat \theta $ εξωτερική στο  τρίγωνο ${\rm A}{\rm K}\Gamma $ θα ισούται με:

$\widehat \theta  = \widehat {\rm B} + {\rm K}\widehat {\rm A}{\rm B} = \widehat {\rm B} + {\rm K}\widehat \Delta {\rm A} = \widehat {\rm B} + 2\widehat {\rm B} = 6\widehat x$. 

Δηλαδή $\boxed{\widehat x = 10^\circ }$.