Nα βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$, για τις οποίες ισχύουν $f(1)=2$ και
$f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1$.
$x+f(x)=f(f(x))$
για κάθε $x\in\mathbb{R}$.Να βρεθούν οι λύσεις της εξίσωσης $f(f(x))=0$.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Για το 2ο. Δείχνουμε πρώτα ότι η f είναι 1-1 που βγαίνει από τον ορισμό. Έστω x1 , x2 με f(x1) = f(x2) τότε και -f(x1)=-f(x2) αλλά και f(f(x1))=f(f(x2)). Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε x1=x2.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτη δοσμένη σχέση για x=0 έχουμε f(0)=f(f(0)) και επειδή f 1-1 0=f(0).
Άρα f(f(x))=0 ισοδύναμο με f(f(x))=f(0) ισοδύναμο με f(x)=0 ισοδύναμο με f(x)=f(0) και αφου f 1-1 x=0.
Για την 1η ασκηση.Βαζουμε τις τιμές χ=1 y=2 και βρίσκουμε f(2)=3.Ομοίως βάζουμε τις τιμές χ=1 και y=3 και βρίσκουμε f(3)=4.Στην πιο γενική μορφή αν θέσουμε y=1 τότε θα δημιουργηθεί η σχέση f(x+1)-f(x)=1.Οπως παρατηρούμε η ανωτέρω σχέση μοιάζει με την παράγωγο με Dx=1 κάθε φορά.Αν θεωρήσουμε την g(x)=x+c,cεR, με χεR βρίσκοντας την παράγωγο καταλήγουμε στο ότι g'(x)=1.Αυτό σαν πρώτη σκέψη.Ωστόσο η f(x) έχει πεδίο ορισμού το σύνολο των ρητών δηλαδή δεν περιέχει το σύνολο των άρρητων ώστε QUQ'=R.Άρα πρακτικά η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στις τιμές που είναι άρρητοι αριθμοί.Επίσης εξαιτίας ότι f(x+1)-f(x)=1 και και λαμβάνοντας υπόψη τις τιμές f(1),f(2),f(3) ,καθώς και ότι σταθερό ρυθμό μεταβολής διαφορο του μηδενός έχουν μόνο τα πολυώνυμα πρώτου βαθμού καταλήγουμε ότι f(x)=x+1
ΑπάντησηΔιαγραφή