Έστω ισοσκελές τρίγωνο του οποίου ο λόγος του μήκους της μιας πλευράς προς το μήκος της βάσης του είναι ρητός αριθμός.
Να αποδειχθεί ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου είναι ρητός αριθμός, αν και μόνο αν τα δύο ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται από το ύψος της βάσης είναι όμοια με ένα ορθογώνιο τρίγωνο που τα μήκη των πλευρών του είναι ακέραιοι αριθμοί.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Ονομάζω την κορυφή απέναντι από τη βάση (Α) και με τη φορά των δεικτών του ρολογιού, ονομάζω το τρίγωνο ΑΒΓ. Το ύψος από την Α στην ΒΓ συναντά την ΒΓ στο Δ, επίσης ονομάζω (Ο) το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου με ακτίνα (ρ) και Ε την προβολή του (Ο) πάνω στην ΑΒ. Από την εκφώνηση θα ισχύει ότι ΑΒ/ΒΓ = m/n, όπου m, n δύο φυσικοί αριθμοί (γιατί ο ρητός αριθμός μπορεί να εκφραστεί σαν λόγος δύο ακεραίων και εδώ έχουμε μήκη πλευρών άρα πρόκειται για φυσικούς αριθμούς).Όμως ΒΓ = 2ΔΒ άρα ΑΒ/ΔΒ = 2m/n σχέση(1). Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΕΟ είναι όμοια, γιατί έχουν κοινή γωνία την ΔΑΒ και από την ομοιότητα ισχύει ΟΑ/ΑΒ = ρ/ΔΒ = ΑΕ/ΑΔ, κάνω χιαστή στις δύο πρώτες και έχω ΟΑ/ρ = ΑΒ/ΔΒ = ΑΕ/ΑΔ, από την σχέση (1) έχουμε ΟΑ/ρ = ΑΕ/ΑΔ = 2m/n σχέση (2). ΑΔ = ΑΟ + ρ άρα από την (2) έχουμε ΟΑ/ρ = ΑΕ/(ΟΑ + ρ) άρα ΑΕ = ΟΑ(2m/n + 1). Από όλα αυτά τα δεδομένα διαπιστώνουμε ότι στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΟ όλοι οι λόγοι των πλευρών του (που μία από αυτές είναι και η ζητούμενη ακτίνα (ρ)) είναι λόγοι φυσικών αριθμών και φυσικά το ίδιο θα ισχύει και για το όμοιό του ΑΔΒ και για κάθε όμοιό τους, οπότε μιλάμε για ορθογώνια τρίγωνα ακεραίων πλευρών!
ΑπάντησηΔιαγραφή