Η ερώτηση έγινε από έναν 14χρονο μαθητή στη Σιγκαπούρη κατά τη διάρκεια της Μαθηματικής Ολυμπιάδας (SASMO).
Την ερώτηση ανέβασε στο προσωπικό του λογαριασμό στο Facebook ο Kenneth Kong με αποτέλεσμα να "κάψει" πάρα πολύ κόσμο που δε μπορεί τόσο εύκολα να βρεί την απάντηση.
Ο Albert και Bernard μόλις έγιναν φίλοι με τη Cheryl, και θέλουν να μάθουν πότε έχει τα γενέθλιά της.
15η Μαΐου, 16 Μαΐου, 19 Μαΐου
17 Ιουνίου, 18 Ιουνίου
14 Ιουλίου, 16 Ιουλίου
14 Αυγούστου, 15 Αυγούστου, 17 Αυγούστου
Η Cheryl λέει στον καθ' ένα χωριστά, στον ένα τον μήνα και στον άλλον την ημέρα.
Albert: Δεν γνωρίζω πότε είναι τα γενέθλιά της, αλλά γνωρίζω ότι ούτε ο Bernard γνωρίζει.
Bernard: Αρχικά δε γνώριζα αλλά τώρα ξέρω.
Albert: Ε τότε ξέρω και εγώ.
Πότε είναι λοιπόν τα γενέθλιά της;
Ένα πιθανό σενάριο θα μπορούσε ίσως να είναι το εξής:
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ Άλμπερτ γνωρίζει τη μέρα, ο Μπέρναρντ γνωρίζει το μήνα.
Αν η μέρα ήταν 18 ή 19, τότε ο Άλμπερτ θα γνώριζε μονοσήμαντα και το μήνα, 6o ή 5o αντιστοίχως. Αφού όμως δεν μπορεί να βρει το μήνα, η μέρα αποκλείεται να είναι η 18 ή η 19. Μένουν τώρα ως πιθανές μέρες οι 14, 15, 16, 17, που όλες τους υπάρχουν σε 2 ή 3 μήνες η καθεμιά. Επίσης, όποιον μήνα και αν γνώριζε ο Μπέρναρντ, δεν θα μπορούσε να τον αντιστοιχίσει μονοσήμαντα σε μέρα, αφού κάθε μήνας έχει 2 ή 3 πιθανές μέρες. Έτσι ο Άλμπερτ κάνει τη συγκεκριμένη πρώτη του δήλωση.
Ο Μπέρναρντ τώρα, που αρχικά δε γνώριζε, μετά τη δήλωση του Άλμπερτ αποκλείει πλέον τις ημέρες 18 και 19. Αφού όμως πλέον γνωρίζει, δεν μπορεί να έχει ούτε τον 5ο ούτε τον 7ο ούτε τον 8ο μήνα, αλλιώς η πληροφορία που πήρε από την πρώτη δήλωση του Άλμπερτ δεν θα αρκούσε για να τον οδηγήσει μονοσήμαντα, αφού η ημέρα 18 δεν υπάρχει ούτε στον 5ο ούτε στον 7ο ούτε στον 8ο, ενώ η 19 υπάρχει μόνο στον 5ο, αλλά στον 5ο υπάρχουν ακόμα 2 υποψήφιες μέρες. Επομένως, ο Μπέρναρντ πρέπει να γνωρίζει ότι ο μήνας είναι ο 6ος και έτσι, έχοντας αποκλείσει και την ημέρα 18, ξέρει ότι η ημέρα είναι η 17 και κάνει τη δική του δήλωση.
Αφού την άκουσε ο Άλμπερτ, ξέρει πλέον και εκείνος ότι τα γενέθλια της Τσέριλ είναι στις 17 Ιουνίου.
Η εξήγηση της διαφωνίας είναι απλή. Ο Θανάσης διάβασε το ελληνικό κείμενο, όπου λείπει η λέξη "αντιστοίχως" που υπάρχει στο αγγλικό κείμενο και υπέθεσε ότι τον μήνα τον γνωρίζει ο Μπέρναρντ ενώ στο αρχικό κείμενο τον γνωρίζει ο Άλμπερτ.
ΑπάντησηΔιαγραφήΆρα, έχουμε δυο διαφορετικά προβλήματα και δυο σωστές απαντήσεις.
Σωτήρη, μπράβο και ευχαριστώ για την εύστοχη επισήμανσή σου. Η παραδρομή - παράλειψη (;) στο ελληνικό κείμενο ανέδειξε μια ενδιαφέρουσα νομίζω διττότητα στο πρόβλημα.
ΔιαγραφήΓιώργο, ευχαριστώ για την παραπομπή. Η ουδετερότητά σου μεταξύ Σιγκαπούρης και της ταπεινότητάς μου με κολακεύει αν μη τι άλλο :-).
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ ετικέτα 'Δημοτικό' φαίνεται πως ενθάρρυνε και σχόλια αυτού του επιπέδου. Νομίζω ότι το πρόβλημα αυτό θα μπορούσε να διατυπωθεί και ως εξής: Ποια σχέση μπορεί να έχει η Αγγελική Κουνελούλη με το 'Φώ(τη)ς στο τούνελ';
ΑπάντησηΔιαγραφήΣωστός!
Διαγραφήή ποια η σχέση με το "Χέρι-υπογραφή Ησαύ, φωνή-"σκέψη" Ιακώβ.
Τελικά δεν καταλαβαίνω, γιατί στην Ελλάδα δεν μπορούμε να τηρήσουμε ένα σοβαρό επίπεδο συζήτησης στις ιστοσελίδες, παρά τα ισοπεδώνουμε όλα. Λίγη ευπρέπεια και σεβασμό στον κάθε σχολιαστή δεν βλάπτει. Η γνώση μόνο με αυτό το τροπο αποκτιέται. Με την ανταλαγή απόψεων και σκέψεων. Εάν η ιστοσελίδα ήταν δική μου πάραυτα θα διέγραφα ανάρμοστο σχόλιο. Σχόλια με υπονοούμενα υποβαθμίζουν σαφώς τη ποιότητα της ιστοσελίδας. Και μη μου πει κανένας ότι έχουμε ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ και μπορούμε να γράφουμε και να λέμε ό,τι θέλουμε.
ΑπάντησηΔιαγραφήΛοιπόν, ανεβάζω την λύση. Έχουμε και λέμε: Ο Albert, που ξέρει μόνο τον μήνα, σε καμία περίπτωση δεν θα μπορούσε να ξέρει όλη την ημερομηνία. Ο Bernard όμως που έχει την ημερομηνία, αν είχε αριθμό 19 ή 18, θα ήξερε και τον μήνα, γιατί και το 19 και το 18 υπάρχουν μόνο 1 φορά στις 10 πιθανές ημερομηνίες. Όμως ο Albert στην πρώτη πρόταση αναφέρει πως ούτε ο bernard ξέρει την ημερομηνία ολόκληρη, άρα αποκλείονται οι ημερομηνίες 19 Μαίου και 18 Ιουνίου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπίσης, ο Albert ξέρει πως ο bernard δεν έχει ούτε 19 ούτε 18, γιατί αν τα είχε θα ήξερε όλη την ημερομηνία (δεν μας ενδιαφέρει πως το ξέρει). Έτσι, αν ο Albert είχε Ιούνιο μήνα, εφόσον δεν γίνεται ο Albert να έχει 18, αναγκαστικά θα είχε 17, άρα θα ήξερε την απάντηση ο Albert, όμως δεν το γνωρίζει.
Έπειτα ο Bernard βγάζει έναν συλλογισμό και γνωρίζει όλη την ημερομηνία. Αφού αυτός ξέρει τον αριθμό, για να γνωρίζει ολόκληρη την ημερομηνία, θα έπρεπε να έχει έναν αριθμό που εμφανίζεται μόνο 1 φορά. Έχουμε λοιπόν, δύο 14άρια, δύο 15άρια, δύο 16άρια και δύο 17άρια. Όμως έχουμε αποκλείσει την 17 Ιούνη, άρα μένει μόνο η 17 Αυγούστου, που είναι και τα γενέθλια της Cheryl.
Νομίζω ότι η λύση σου Γιάννη δε λαμβάνει υπόψη την τελευταία δήλωση του Albert. Αν η ημερομηνία που έχει ο Bernard είναι είτε η 15 είτε η 17 (οι υπόλοιπες, πλην της 16, έχουν αποκλειστεί από προηγούμενες δηλώσεις), τότε ο Albert, αν είχε τον Αύγουστο, δε θα μπορούσε να διακρίνει ποια είναι η σωστή, αφού και οι δυο υπάρχουν στον Αύγουστο, και δεν θα είχε κάνει την τελική του δήλωση. Μπορεί να την κάνει μόνο αν έχει τον Ιούλιο, οπότε αναγκαστικά ο Bernard έχει ημερομηνία 16.
ΑπάντησηΔιαγραφήΝα σημειώσω συμπληρωματικά ότι η πρώτη δήλωση του Albert αποκλείει τους μήνες Μάιο και Ιούνιο και τις ημερομηνίες 18 και 19, ενώ η δήλωση του Bernard αποκλείει την ημερομηνία 14. Έτσι, πριν από την τελευταία δήλωση του Albert, παίζουν μόνο οι μήνες Ιούλιος και Αύγουστος και οι ημερομηνίες 15, 16, 17.
ΔιαγραφήΔεν διαφωνώ με τον συλλογισμό σου papadim, αλλά επιμένω στην αρχική μου λύση και να το γιατί. Μέχρι και την δεύτερη δήλωση, έχουμε ότι ο Bernard τελικά γνωρίζει τα γενέθλια, άρα είναι 17 Αυγούστου (μέχρι εδώ, έστω). Ο Albert τώρα, καταλαβαίνει πως αφού ο φίλος του γνωρίζει, πάει να πει πως έχει έναν μοναδικό αριθμό. Αν έχει αύγουστο ο Albert, γνωρίζει πως δεν μπορεί να είναι 14 ή 15, γιατί αν ο Bernard είχε έναν από τους δύο αριθμούς, δεν θα ήξερε όλη την ημερομηνία. Ακριβώς όπως και ο Bernard, ο Albert αποκλείει τα διπλά 14,15,16, γιατί με αυτά ο φίλος του δεν θα ήξερε την ημερομηνία ολόκληρη. Γνωρίζει έτσι πλέον κι αυτός την ημερομηνία όλη, γιατί βασίζεται στο γεγονός πως ο bernard ξέρει, κάτι το οποίο επιτυγχάνεται μόνο με την κατοχή ενός μοναδικού αριθμού. Οπότε με την ίδια λογική, του μένει μόνο ο Αύγουστος σαν μήνας, και αφού ο φίλος του ξέρει όλη την ημερομηνία, πάει να πει πως είναι 17.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓιάννη, θα προσπαθήσω να το πιάσω από την αρχή βήμα-βήμα:
ΔιαγραφήΜε την πρώτη δήλωση του Albert αποκλείονται οι μήνες Μάιος και Ιούνιος, αφού αν ο Albert είχε έναν από αυτούς, μην μπορώντας να αποκλείσει εκ των προτέρων το ενδεχόμενο ο Bernard να έχει ημερομηνία 18 ή 19, δεν θα μπορούσε να είναι βέβαιος ότι ο Bernard δε γνωρίζει τα γενέθλια και επομένως δεν θα είχε κάνει την πρώτη του δήλωση. Αυτό αυτόματα αποκλείει και την περίπτωση να έχει ο Bernard ημερομηνία 19 ή 18, οι οποίες υπάρχουν μόνο σε Μάιο και Ιούνιο αντιστοίχως.
Αν τώρα ο Bernard, που ξέρει πλέον ότι ο Albert έχει Ιούλιο ή Αύγουστο, είχε ημερομηνία 14, δεν θα μπορούσε να δηλώσει ότι ξέρει, αφού το 14 υπάρχει και στον Ιούλιο και στον Αύγουστο. Αν όμως έχει οποιαδήποτε από τις 15, 16, 17, μπορεί κάλλιστα να πει ότι ξέρει, αφού οι συγκεκριμένες ημερομηνίες είναι καθεμιά σε έναν αποκλειστικά μήνα από τους Ιούλιο και Αύγουστο.
Αν όμως ο Albert είχε τον Αύγουστο, δεν θα μπορούσε να ξέρει αν ο Barnard έχει το 15 ή το 17, αφού και οι δύο αυτές ημερομηνίες υπάρχουν στον Αύγουστο. Αφού δηλώνει όμως ότι ξέρει πλέον κι αυτός, είναι βέβαιο ότι δεν έχει τον Αύγουστο και συνεπώς ούτε ο Bernard έχει 15 ή 17.
Άρα τελικά ο Albert έχει τον Ιούλιο και ο Bernard το 16.
Συμφωνώ μαζί σου αγαπητέ papadim, αλλά συμφωνώ και με μένα! Αν μεταβείς στην γνήσια ιστοσελίδα του The Guardian, όπου ανέβηκε ο γρίφος αυτός, θα δεις πως ανάλογα με την διατύπωση μπορούν να προκύψουν δύο λύσεις, 17 Αυγούστου και 16 Ιουλίου. Το θέμα είναι πως το παίρνεις. Δια του λόγου το αληθές, μπες εδώ: http://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2015/apr/15/why-the-cheryl-birthday-problem-turned-into-the-maths-version-of-thatdress και δες. Στην αρχή δίνει σαν λύση όντως το 16 Ιουλίου, ωστόσο παρακάτω δίνει έγκυρη απάντηση και την 17 Αυγούστου. Οπότε γιατί να λογομαχούμε όταν έχουμε και οι δύο δίκιο! :)
ΑπάντησηΔιαγραφήΔεν θα συμφωνήσω ότι το πρόβλημα έχει δύο λύσεις, κατά την άποψη μου υπάρχει μόνο μία σωστή απάντηση, η 16 Ιουλίου. Συμφωνώ απόλυτα με τη συλλογιστική του Θανάση, και επισημαίνω το εξής «λεπτό» σημείο που δεν λαμβάνει υπ’όψιν η συλλογιστική που καταλήγει σε απάντηση 17 Αυγούστου:
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυγκεκριμένα, τόσο στην ανάρτηση του κ. Τσικριτζάκη, όσο και στην ανάλυση του «theguardian”, αναφέρεται ότι μετά τη πρώτη δήλωση του Albert, ο Bertrard, αφού δηλώσει ότι αρχικά δεν ήξερε, στη συνέχεια:
«Έπειτα ο Bernard βγάζει έναν συλλογισμό και γνωρίζει όλη την ημερομηνία. Αφού αυτός ξέρει τον αριθμό, για να γνωρίζει ολόκληρη την ημερομηνία, θα έπρεπε να έχει έναν αριθμό που εμφανίζεται μόνο 1 φορά. Έχουμε λοιπόν, δύο 14άρια, δύο 15άρια, δύο 16άρια και δύο 17άρια. Όμως έχουμε αποκλείσει την 17 Ιούνη, άρα μένει μόνο η 17 Αυγούστου, που είναι και τα γενέθλια της Cheryl.»
Η ανωτέρω ανάλυση ακολουθεί το (σωστό) συμπέρασμα, ότι ο Ιούνιος μήνας πρέπει να αποκλειστεί, καθώς από τη πρώτη δήλωση του Albert, αποκλείεται η 18 Ιουνίου, ενώ ακολούθως από το πρώτο μισό της δήλωσης του Betrard αποκλείεται και η 17 Ιουνίου. Όμως (και εδώ είναι το λεπτό σημείο), στο στάδιο αυτό (δηλαδή δήλωση Albert και πρώτο μισό δήλωσης Bertrard), συμπεραίνουμε ότι πρέπει να αποκλειστεί και ολόκληρος ο Μάιος και όχι μόνον η 19 Μαίου. Και αυτό γιατί αν η ημερομηνία ήταν 15, ή 16 Μαίου, τότε ο Albert ξέροντας τον μήνα (Μάιος), δεν θα μπορούσε να συμπεράνει στη πρώτη του δήλωση ότι ο Bernard δεν ξέρει την ημερομηνία, καθώς δεν θα μπορούσε να είναι σίγουρος ότι δεν είναι η 19 Μαίου.
Επομένως το συμπέρασμα ότι στο σκεπτικό του Bernard απομένουν δύο 14άρια, δύο 15άρια, δύο 16άρια και δύο 17άρια, δεν είναι σωστό. Στη πραγματικότητα απομένουν 2 14άρια, ένα 15άρι, ένα 16άρι και ένα 17άρι που με την ανάλυση που σωστά έκανε ο Θανάσης, οδηγούμαστε στη λύση 16 Ιουλίου.
Και κάτι ακόμα. Η συλλογιστική που παρουσιάζεται να οδηγεί στην 17 Αυγούστου, ουσιαστικά παρουσιάζει σαν άχρηστη την πληροφορία της τρίτης δήλωσης (Albert: ε, τότε ξέρω και εγώ). Αυτό από μόνο του αποτελεί μία ένδειξη, καθώς τα προβλήματα αυτού του είδους, σπάνια προσφέρουν υπερπληροφορία, συνήθως (και εκεί είναι η ομορφιά τους), δίνουν μόνον την ελάχιστα απαιτούμενη.