Αν $f''(x) < 0$ ...

Έστω συνάρτηση $f$, τέτοια ώστε $f''(x)<0$. Για κάθε $t\geq 0$, να αποδειχθεί ότι:

α) $f(0)+f'(t)t\leq f(t)\leq f(0)+f'(0)t.$

β) $\frac{f(0)t+f(t)t}{2}\leq \int_0^t f(u)\ du\leq f(0)t+\frac{f'(0)}{2}t^2.$

Από Μαθηματικό διαγωνισμό στην Ιαπωνία (2014)