Αν f″(x)<0 ...

Έστω συνάρτηση $f$, τέτοια ώστε $f^{″}(x)<0$. Για κάθε $t\ge 0$, να αποδειχθεί ότι:

α) $f(0)+f^{\prime }(t)t\le f(t)\le f(0)+f^{\prime }(0)t.$

β) $\frac{f(0)t+f(t)t}{2}\le {\int }_0^{t}f(u)du\le f(0)t+\frac{f^{\prime }(0)}{2}{t}^2.$

Από Μαθηματικό διαγωνισμό στην Ιαπωνία (2014)