Ένα κυλινδρικό βαρέλι με ακτίνα $4$ cm είναι γεμάτο με νερό. Ένας κύβος πλευράς $8$ cm βρίσκεται μέσα στο βαρέλι (βλ. σχήμα), έτσι ώστε η διαγώνιος του να είναι κάθετη στη βάση του βαρελιού.
![[asy]
import three; import solids;
size(5cm);
currentprojection=orthographic(1,-1/6,1/6);
draw(surface(revolution((0,0,0),(-2,-2*sqrt(3),0)--(-2,-2*sqrt(3),-10),Z,0,360)),white,nolight);
triple A =(8*sqrt(6)/3,0,8*sqrt(3)/3), B = (-4*sqrt(6)/3,4*sqrt(2),8*sqrt(3)/3), C = (-4*sqrt(6)/3,-4*sqrt(2),8*sqrt(3)/3), X = (0,0,-2*sqrt(2));
draw(X--X+A--X+A+B--X+A+B+C);
draw(X--X+B--X+A+B);
draw(X--X+C--X+A+C--X+A+B+C);
draw(X+A--X+A+C);
draw(X+C--X+C+B--X+A+B+C,linetype("2 4"));
draw(X+B--X+C+B,linetype("2 4"));
draw(surface(revolution((0,0,0),(-2,-2*sqrt(3),0)--(-2,-2*sqrt(3),-10),Z,0,240)),white,nolight);
draw((-2,-2*sqrt(3),0)..(4,0,0)..(-2,2*sqrt(3),0));
draw((-4*cos(atan(5)),-4*sin(atan(5)),0)--(-4*cos(atan(5)),-4*sin(atan(5)),-10)..(4,0,-10)..(4*cos(atan(5)),4*sin(atan(5)),-10)--(4*cos(atan(5)),4*sin(atan(5)),0));
draw((-2,-2*sqrt(3),0)..(-4,0,0)..(-2,2*sqrt(3),0),linetype("2 4"));
[/asy]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vBB7lTfVnOZMip-_l6IykAPqPpLmp4OtQ_7BW-LcQf3KwSyIIv9AcoI_XrpL2y9XDrvkXenmQhrCljh-HmKLX9c1wFO1xyoOfDQqCfU1q95-pbjevBNrHuBvxWEr9aWcQY8YRd0SFEI611hYyAEGmYZoI5DxpcQVqT=s0-d)
Να βρεθεί ο όγκος του εκτοπισμένου νερού.
AIME 2015
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Η διαγώνιος του κύβου είναι κάθετος στη βάση του βαρελιού, που είναι οριζόντια αφού είναι γεμάτο με νερό, άρα κατακόρυφη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτο βαρέλι εισχωρεί τμήμα του κύβου, σχήματος ανεστραμμένης πυραμίδας με μια έδρα (αυτή στο χείλος του βαρελιού) ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας $4 \ cm$ , άρα πλευρά τριγώνου $2\cdot4\dfrac{\sqrt{3}}{2} =$ $4\sqrt{3}$ $ (4\sqrt{3}<8$, γιαυτό και το τμήμα του κύβου είναι πυραμίδα) και ύψος ${4+\dfrac{1}{2}\cdot 4 = 6\ cm$
και $E=\dfrac{1}{2} 6\cdot4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$
Oι άλλες τρεις έδρες (μέσα στο βαρέλι) είναι ισόπλευρα ορθογώνια τρίγωνα)
Ύψος (βάθος αφού είναι ανεστραμμένη) πυραμίδας είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα το ύψος ($6 \ cm$) του ισοσκελούς τριγώνου και κάθετες πλευρές $\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}$ και $\sqrt{2\cdot6}=$ $2\sqrt{3}$, άρα ύψος $\sqrt{12-4}=2\sqrt{2}$
Άρα όγκος εκτοπισμένου νερού=Όγκος πυραμίδας=$\dfrac{1}{3}12\sqrt{3}\cdot2\sqrt{2}=$ $ 8\sqrt{6}$
και ύψος: $4+\dfrac{1}{2}\cdot 4 = 6\ cm$
Διαγραφή