Σάββατο 9 Μαΐου 2015

Σκεφτείτε οικονομικά

Έστω μία ευθεία $m$ κάθετη σε ένα επίπεδο $L$. Τρεις σφαίρες που εφάπτονται ανά δύο, εφάπτονται επίσης στο επίπεδο $L$ και στην ευθεία $m$. Η ακτίνα της μεγαλύτερης σφαίρας ισούται με $1$. Βρείτε τη μικρότερη δυνατή ακτίνα της μικρότερης σφαίρας.
Αναρτήθηκε από στις 9.5.15
Ετικέτες

2 σχόλια:

  1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ9 Μαΐου 2015 στις 11:56 π.μ.

    Έστω ότι η σφαίρα, με ακτίνα $1$ εφάπτεται του επιπέδου $L$ και της ευθείας $m$ .
    Θεωρούμε επίπεδο, έστω $K$, που ορίζεται από την ευθεία $m$ και το κέντρο της σφαίρας, η τομή του οποίου με την σφαίρα είναι κύκλος, έστω $C_{1}$, ακτίνας $1$ και η τομή με το επίπεδο $L$ είναι ευθεία, έστω $n, n \bot m$.
    H ζητούμενη μικρή σφαίρα με την μικρότερη ακτίνα είναι η σφαίρα, έστω $C_{3}$, της οποίας το κέντρο βρίσκεται στο επίπεδο $K$, η τομή της οποίας με το $K$ είναι κύκλος $C_{3}$ συνεπίπεδος και εφαπτόμενος του κύκλου $C_{1}$ καθώς και συνεπίπεδος και εφαπτόμενος των ευθειών $m$ και $n$ και το πρόβλημα χώρου έγινε πρόβλημα επιπέδου ($K$)
    Με την βοήθεια κατάλληλων ορθογωνίων τριγώνων και τριγωνομετρικών σχέσεων των γωνιών έχουμε:
    $cos(22.5°)= \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} $
    $ sin(22.5°)= \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} $
    και $tan22.5°= \sqrt{3-2 \sqrt{2} } $
    Εύκολα βρίσκουμε ότι η ζητούμενη ακτίνα είναι:
    $ 1\cdot tan^2(22.5) =$ $\left( \sqrt{3-2 \sqrt{2} }\right)^2 = $
    $3-2\sqrt{2}=0.17157...$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ9 Μαΐου 2015 στις 5:46 μ.μ.

    Για να είναι πλήρης η αιτιολόγηση πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει σφαίρα με ακτίνα $R_{2}$ τέτοια ώστε
    $3-2\sqrt{2}<R_{2}<1$ που να εφάπτεται των δύο σφαιρών, του επιπέδου $L$ και της ευθείας $m$. Τέσσερα σημεία επαφών, όσα και τα σημεία, μη συνεπίπεδα κι μη συνευθειακά ανά τρία, που ορίζουν μία σφαίρα.
    Στον σχηματισμό των δύο σφαιρών (μεγάλης και μικρής) που είδαμε παραπάνω τοποθετούμε:
    (α) Mια σφαίρα ίδια με την μικρή, εύκολα διαπιστώνουμε ότι μόνο με τρία από τα τέσσερα αντικείμενα μπορεί να έλθει σε επαφή, σε καμία περίπτωση και με τα τέσσερα
    (β) Μια σφαίρα, ίδια με την μεγάλη, σε επαφή με την μικρή και το $L$. Επίσης πολύ εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι δυο μεγάλες σφαίρες τέμνονται καη η $m$ διέρχεται μέσα από την σφαίρα.

    (α)+(β) Άρα υπάρχει κατάλληλη θέση και κατάλληλη ακτίνα (πόση ακτίνα και ποιά θέση;), αρχή της συνέχειας – ή όπως αλλιώς λέγεται - που η μεσαία σφαίρα εφάπτεται και των $4$ αντικειμένων .

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)