Σε ένα σακούλι υπάρχουν σοκολάτες. Παίρνουμε κάθε φορά τις μισές από τις σοκολάτες και ακόμη μισή σοκολάτα.
Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται 4 φορές. Στο τέλος μένει στο σακούλι μία μόνο σοκολάτα. Πόσες σοκολάτες υπήρχαν αρχικά στο σακούλι;
16η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2015
(Γ΄ και Δ΄ Δημοτικού)
(Γ΄ και Δ΄ Δημοτικού)
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Αρχικά υπήρχαν 15 σοκολάτες μέσα στο σακούλι.
ΑπάντησηΔιαγραφή1η Φάση:(χ+1)/2=(15+1)/2=16/2=8
2η Φάση:(χ+1)/4=(15+1)/4=16/4=4
3η Φάση:(χ+1)/8=(15+1)/8=16/8=2
4η Φάση:(χ+1)/16=(15+1)/16=16/16=1
Σύνολο: 8+4+2+1=15
Εάν επαναληφθεί η διαδικασία αυτή άλλη μια φορά θα έχουμε 31 σοκολάτες μέσα στο σακούλι.
ΑπάντησηΔιαγραφή1η Φάση:(χ+1)/2=(31+1)/2=32/2=16
2η Φάση:(χ+1)/4=(31+1)/4=32/4=8
3η Φάση:(χ+1)/8=(31+1)/8=32/8=4
4η Φάση:(χ+1)/16=(31+1)/16=32/16=2
5η Φάση:(χ+1)/32=(31+1)/32=32/32=1
Σύνολο:16+8+4+2+1=31
Πλήρης Λύση:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑρχικά υπήρχαν 15 σοκολάτες μέσα στο σακούλι.
1η Φάση: [(x/2)+1/2] ---> (x+1)/2 (1)
Υπόλοιπες: [x-(x+1)/2] ---> (2x-x-1)/2 ---> (x-1)/2 (1α)
2η Φάση: [1/2[(x-1)/2]+1/2] ---> [(x-1)/4+1/2] ---> (x-1+2)/4 ---> (x+1)/4 (2)
Υπόλοιπες: (x-1)/2-(x+1)/4 ---> [2*(x-1)-x-1)]/4 ---> (2x-2-x-1)/4 ---> (x-3)/4 (2α)
3η Φάση: [1/2[(x-3)/4]+1/2] ---> [(x-3)/8+1/2] ---> (x-3+4)/8 ---> (x+1)/8 (3)
Υπόλοιπες: (x-3)/4-(x+1)/8 ----> [2*(x-3)-x-1]/8 ---> (2x-6-x-1)/8 ---> (x-7)/8 (3α)
4η Φάση: [1/2[(x-7)/8+1/2] ---> [(x-7)/16+1/2] ---> (x-7+8)/16 ---> (x+1)/16 (4)
Επειδή στο τέλος της διαδικασίας αυτής μένει ένα σοκολατάκι στο σακούλι έχουμε την εξίσωση:
(x+1)/16=1 ---> x+1=16*1 ---> x=16-1 ---> x=15
Επαλήθευση:
1η Φάση:(χ+1)/2=(15+1)/2=16/2=8
2η Φάση:(χ+1)/4=(15+1)/4=16/4=4
3η Φάση:(χ+1)/8=(15+1)/8=16/8=2
4η Φάση:(χ+1)/16=(15+1)/16=16/16=1
Σύνολο: 8+4+2+1=15
Εάν επαναληφθεί η διαδικασία αυτή άλλη μια φορά θα έχουμε 31 σοκολάτες μέσα στο σακούλι.
ΔιαγραφήΥπόλοιπες: (χ-7)/8-(χ+1/16 ----> [2*(χ-7)-χ-1]/16 ---->
(2χ-14-χ-1)/16 ----> (χ-15)/16 (4α)
Επειδή στο τέλος της διαδικασίας αυτής μένει ένα σοκολατάκι στο σακούλι έχουμε την εξίσωση:
(χ-15)16=1 ---> χ-15=16*1 ---> χ=16+15 ---> χ=31
Οι μειώσεις των σοκολατών αποτελούν μία φθείνουσα σειρά της δυνάμεως του δύο με πρώτον όρο το
ΑπάντησηΔιαγραφήα=1 και λόγο ω=2:
(2^3)+(2^2)+(2^1)+(2^0)=8+4+2+1=15
Βλέπω πως υπάρχει ένα θέμα στο αν είναι 15 ή 31. Προσωπικά θεωρώ πως είναι 31 οι σοκολάτες και όχι 15. Ας ακολουθήσουμε την διαδικασία όχι αντίστροφα, αλλά κανονικά. Έχουμε λοιπόν:
ΑπάντησηΔιαγραφή$\frac{{31}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{{30}}{2} = \boxed{15}$ 1η επανάληψη.
$\frac{{15}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{{14}}{2} = \boxed7$ 2η επανάληψη.
$\frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = \boxed3$ 3η επανάληψη.
$\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = \boxed1$ 4η επανάληψη, και καταλήγουμε στο ζητούμενο. Χρειάστηκε να κάνουμε 4 φορές το πείραμα για να φτάσουμε στο 1. Αν οι σοκολάτες ήταν 15, θα έπρεπε να εκτελέσουμε 3 φορές το πείραμα για να φτάσουμε στο 1, όμως από υπόθεση έχουμε πως οι επαναλήψεις ήταν 4.
Επίσης, για να είμαστε σωστοί, η λύση αν και προαναφερθείσα, την έβγαλα ως εξής:
Ακολουθώ την αντίστροφη διαδικασία. Έχω 1, άρα προσθέτω μισή σοκολάτα και διπλασιάζω. Δηλαδή 1,5*2=3 (1η φορά). Έχω 3, προσθέτω μισή και διπλασιάζω, δηλαδή 3,5*2=7 (2η φορά). Έχω 7, προσθέτω μισή και διπλασιάζω, δηλαδή 7,5*2=15 (3η φορά). Τέλος, έχω 15, προσθέτω μισή και διπλασιάζω, δηλαδή 15,5*2=31 (4η φορά).
@Γιάννης Τσικριτζάκης
ΑπάντησηΔιαγραφήΈχετε δίκιο. Το αποτέλεσμα είναι 31 σοκολάτες.
Αν γράψω \frac 2/5 γίνεται κλάσμα;
ΑπάντησηΔιαγραφήΝα γράψετε ανάμεσα σε δολάρια \frac{2}{5} ή αν θέλετε το κλάσμα να είναι λίγο μεγαλύτερο \dfrac{2}{5}.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠάντα ανάμεσα στο σύμβολο του δολαρίου.